Programme de mathématiques

Terminale générale – Option mathématiques complémentaires

Analyse

Suites numériques, modèles discrets

Contenus

Approche intuitive de la notion de limite, finie ou infinie, d’une suite, des opérations sur les limites, du passage à la limite dans les inégalités et du théorème des gendarmes.
Limite d’une suite géométrique de raison positive.
Limite de la somme des termes d’une suite géométrique de raison positive strictement inférieure à $1$.
Suites arithmético-géométriques.

Capacités attendues

Modéliser un problème par une suite donnée par une formule explicite ou une relation de récurrence.
Calculer une limite de suite géométrique, de la somme des termes d’une suite géométrique de raison positive et strictement inférieure à $1$.
Représenter graphiquement une suite donnée par une relation de récurrence $U_{n+1}=f(U_{n})$ où $f$ est une fonction continue d’un intervalle $I$ dans lui-même. Conjecturer le comportement global ou asymptotique d’une telle suite.
Pour une récurrence arithmético-géométrique : recherche d’une suite constante solution particulière ; utilisation de cette suite pour déterminer toutes les solutions.

Démonstration possible

Limite des sommes des termes d’une suite géométrique de raison positive strictement inférieure à $1$.

Exemples d’algorithmes

Recherche de seuils.
Pour une suite récurrente $U_{n+1}=f(U_{n})$, calcul des termes successifs.
Recherche de valeurs approchées de constantes mathématiques, par exemple $\pi$, $ln2$, $\sqrt{2}$.

Fonctions : continuité, dérivabilité, limites, représentation graphique

Contenus

Notion de limite. Lien avec la continuité et les asymptotes horizontales ou verticales. Limites des fonctions de référence (carré, cube, racine carrée, inverse, exponentielle, logarithme).
Théorème des valeurs intermédiaires (admis). Cas des fonctions strictement monotones.
Réciproque d’une fonction continue strictement monotone sur un intervalle, représentation graphique.
Fonction logarithme népérien : réciproque de la fonction exponentielle. Limites, représentation graphique. Équation fonctionnelle. Fonction dérivée.
Fonction dérivée de $x\mapsto f(ax+b), x\mapsto e^{u(x)}, x\mapsto ln\,u(x), x\mapsto u(x)^{2}$.

Capacités attendues

Calculer une fonction dérivée, calculer des limites. Dresser un tableau de variation.
Dans le cadre de la résolution de problème, utiliser le calcul des limites, l’allure des courbes représentatives des fonctions inverse, carré, cube, racine carrée, exponentielle et logarithme.
Exploiter le tableau de variation pour déterminer le nombre de solutions d’une équation du type $f(x)=k$, pour résoudre une inéquation du type $f(x)\leqslant k$.
Déterminer des valeurs approchées, un encadrement d’une solution d’une équation du type $f(x)=k$.
Utiliser l’équation fonctionnelle de l’exponentielle ou du logarithme pour transformer une écriture, résoudre une équation, une inéquation.
Utiliser la relation $ln\,q^{n}=n\,ln\,q$ pour déterminer un seuil.

Démonstrations possibles

Relations $ln(ab)=ln\,a+ln\,b,\>ln\left(\frac{1}{a}\right)=-ln\,a$.
Calcul de la fonction dérivée du logarithme, en admettant sa dérivabilité.
Calcul de la fonction dérivée de $ln\,u$, de $exp\,u$.

Exemples d’algorithmes

Méthodes de recherche de valeurs approchées d’une solution d’équation du type $f(x)=k$ : balayage, dichotomie, méthode de Newton.
Algorithme de Briggs pour le calcul de logarithmes.

Primitives et équations différentielles

Contenus

Sur des exemples, notion d’une solution d’équation différentielle.
Notion de primitive, en liaison avec l’équation différentielle $y\,’=f$. Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante. Exemples.
Équation différentielle $y\,’=ay+b$, où $a$ et $b$ sont des réels ; allure des courbes.

Capacités attendues

Vérifier qu’une fonction donnée est solution d’une équation différentielle.
Déterminer les primitives d’une fonction, en reconnaissant la dérivée d’une fonction de référence ou une fonction de la forme $2uu’,\,e^{u}\,u’$ ou $\frac{u’}{u}$.
Résoudre une équation différentielle $y\,’=ay$. Pour une équation différentielle $y\,’=ay+b$ : déterminer une solution particulière constante ; utiliser cette solution pour déterminer la solution générale.

Démonstrations possibles

Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
Résolution de l’équation différentielle $y\,’=ay$.

Exemple d’algorithme

Sur des exemples, résolution approchée d’une équation différentielle par la méthode d’Euler.

Fonctions convexes

Contenus

Dérivée seconde d’une fonction.
Fonction convexe sur un intervalle : définition par la position relative de la courbe représentative et des sécantes, équivalence admise, lorsque $f$ est dérivable, avec la position par rapport aux tangentes.
Caractérisation admise par la croissance de $f’$, la positivité de $f^{\prime\prime}$.
Point d’inflexion.

Capacités attendues

Reconnaître sur une représentation graphique une fonction convexe, concave, un point d’inflexion.
Étudier la convexité, la concavité, d’une fonction deux fois dérivable sur un intervalle.

Intégration

Contenus

Définition de l’intégrale d’une fonction continue et positive sur $[a,b]$ comme aire sous la courbe. Notation $\int_{a}^{b}f(x)dx$. Relation de Chasles.
Valeur moyenne d’une fonction continue sur $[a,b]$. Approche graphique et numérique. La valeur moyenne est comprise entre les bornes de la fonction.
Approximation d’une intégrale par la méthode des rectangles.
Présentation de l’intégrale des fonctions continues de signe quelconque.
Théorème : si $f$ est continue sur $[a,b]$, la fonction $F$ définie sur $[a,b]$ par $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ est dérivable sur $[a,b]$ et a pour dérivée $f$.
Calcul d’intégrales à l’aide de primitives : si $F$ est une primitive de $f$, alors $\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Capacités attendues

Estimer graphiquement ou encadrer une intégrale, une valeur moyenne.
Calculer une intégrale, une valeur moyenne.
Calculer l’aire sous une courbe ou entre deux courbes.
Interpréter une intégrale, une valeur moyenne dans un contexte issu d’une autre discipline.

Démonstration possible

Dérivée de $x\mapsto \int_{a}^{x}f(t)dt$ lorsque $f$ est une fonction continue positive croissante.

Exemples d’algorithmes

Méthode des rectangles, des trapèzes.
Méthode de Monte-Carlo pour un calcul d’aire.

Probabilités et statistique

Lois discrètes

Contenus

Loi uniforme sur $\left\{ 1,2,\cdots,n \right\}$. Espérance.
Épreuve de Bernoulli. Loi de Bernoulli : définition, espérance et écart type.
Schéma de Bernoulli. Représentation par un arbre.
Coefficients binomiaux : définition (nombre de façons d’obtenir $k$ succès dans un schéma de Bernoulli de taille $n$), triangle de Pascal, symétrie.
Variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathscr{B}(n,p)$. Interprétation : nombre de succès dans le schéma de Bernoulli. Expression, espérance et écart type (admis). Représentation graphique.
Loi géométrique : définition, expression, espérance (admise), représentation graphique et propriété caractéristique (loi sans mémoire).

Capacités attendues

Identifier des situations où une variable aléatoire suit une loi de Bernoulli, une loi binomiale ou une loi géométrique.
Déterminer des coefficients binomiaux à l’aide du triangle de Pascal.
Dans le cas où $X$ suit une loi binomiale, calculer à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel, les probabilités des événements de type $P(X=k)$ ou $P(X\leqslant k)$, etc. Calculer explicitement ces probabilités pour une variable aléatoire suivant une loi géométrique.
Dans le cas où $X$ suit une loi binomiale, déterminer un intervalle $I$ pour lequel la probabilité $P(X \in I)$ est inférieure à une valeur donnée $\alpha$, ou supérieure à $1-\alpha$.
Dans le cadre de la résolution de problème, utiliser l’espérance des lois précédentes.
Utiliser en situation la caractérisation d’une loi géométrique par l’absence de mémoire.
Calculer des probabilités dans des situations faisant intervenir des probabilités conditionnelles, des répétitions d’expériences aléatoires.

Démonstrations possibles

Espérance et écart type d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli.
Espérance d’une variable aléatoire uniforme sur $\left\{ 1,2,\cdots,n \right\}$.
Espérance d’une variable aléatoire suivant une binomiale $(n\leqslant 3)$.
Caractérisation d’une loi géométrique par l’absence de mémoire.

Lois à densité

Contenus

Notion de loi à densité à partir d’exemples. Représentation d’une probabilité comme une aire. Fonction de répartition $x\mapsto P(X\leqslant x)$
Espérance et variance d’une loi à densité, expressions sous forme d’intégrales.
Loi uniforme sur $[0,1]$ puis sur $[a,b]$. Fonction de densité, fonction de répartition. Espérance et variance.
Loi exponentielle. Fonction densité, fonction de répartition. Espérance, propriété d’absence de mémoire.

Capacités attendues

Déterminer si une fonction est une densité de probabilité. Calculer des probabilités.
Calculer l’espérance d’une variable aléatoire à densité.

Exemples d’algorithmes

Simulation d’une variable de Bernoulli ou d’un lancer de dé (ou d’une variable uniforme sur un ensemble fini) à partir d’une variable aléatoire de loi uniforme sur $[0,1]$.
Simulation du comportement de la somme de $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi.

Statistique à deux variables quantitatives

Contenus

Nuage de points. Point moyen.
Ajustement affine. Droite des moindres carrés. Coefficient de corrélation.
Ajustement se ramenant par changement de variable à un ajustement affine.
Application des ajustements à des interpolations ou extrapolations.

Capacités attendues

Représenter un nuage de points.
Calculer les coordonnées d’un point moyen.
Déterminer une droite de régression, à l’aide de la calculatrice, d’un logiciel ou par calcul.
Dans le cadre d’une résolution de problème, utiliser un ajustement pour interpoler, extrapoler.

Démonstration possible

Droite des moindres carrés.

Algorithmique et programmation

En algorithmique et programmation, le programme de mathématiques complémentaires reprend les programmes des classes de seconde et de première sans introduire de notion nouvelle, afin de consolider le travail des classes précédentes.

Les algorithmes peuvent être écrits en langage naturel ou utiliser le langage Python. On utilise le symbole « $\longleftarrow $ » pour désigner l’affection dans un algorithme écrit en langage naturel. L’accent est mis sur la programmation modulaire qui permet de découper une tâche complexe en tâches plus simples. L’algorithmique trouve naturellement sa place dans toutes les parties du programme et aide à la compréhension et à la construction des notions mathématiques.

Vocabulaire ensembliste et logique

L’apprentissage des notations mathématiques et de la logique est transversal à tous les chapitres du programme. Aussi, il importe d’y travailler d’abord dans des contextes où ils se présentent naturellement, puis de prévoir des temps où les concepts et types de raisonnement sont étudiés, après avoir été rencontrés plusieurs fois en situation.

Les élèves doivent connaître les notions d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble, d’appartenance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire, et savoir utiliser les symboles de base correspondant : $\in ,\,\subset ,\,\cap ,\,\cup,$ ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. Ils connaissent également la notion de couple. Pour le complémentaire d’un sous-ensemble $A$ de $E$, on utilise la notation des probabilités $\overline{A}$, ou la notation $E\smallsetminus A$.

Les élèves apprennent en situation à :

reconnaître ce qu’est une proposition mathématique, à utiliser des variables pour écrire des propositions mathématiques ;
lire et écrire des propositions contenant les connecteurs « et », « ou » ;
formuler la négation de propositions simples (sans implication ni quantificateurs) ;
mobiliser un contre-exemple pour montrer qu’une proposition est fausse ;
formuler une implication, une équivalence logique, et à les mobiliser dans un raisonnement simple ;
formuler la réciproque d’une implication ;
lire et écrire des propositions contenant une quantification universelle ou existentielle (les symboles $\forall $ et $\exists $ ne sont pas exigibles)

Le symbole de somme $\sum$ est utilisé pour écrire concisément certaines expressions, mais son emploi comme outil de calcul n’est pas un objectif du programme.

Les contenus mathématiques sont mis en contexte dans les thèmes d’études suivants :

Modèles définis par une fonction d’une variable

Les fonctions d’une variable réelle interviennent dans des problèmes variés, internes aux mathématiques ou issus des sciences expérimentales, économiques et sociales.

Modèles d’évolution

Il s’agit ici de modéliser des phénomènes qui dépendent du temps, à l’aide de suites ou de fonctions d’une variable réelle.

Approche historique de la fonction logarithme

Il s’agit de montrer qu’un objet mathématique, ici la fonction logarithme népérien, peut être étudié selon divers points de vue.

Calculs d’aires

Des calculs d’aires menés selon différentes méthodes permettent d’aboutir à l’introduction de l’intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle $[a,b]$ de $\mathbb{R}$ en montrant alors la puissance de calcul qu’apporte dans ce domaine la détermination des primitives.

Répartition des richesses, inégalités

L’étude de la répartition de richesses dans la population d’un pays, des salaires dans une entreprise, etc., et la comparaison des différentes répartitions sont des occasions de réinvestir des connaissances antérieures de statistique descriptive et de construire de nouveaux outils d’analyse faisant intervenir les fonctions d’une variable (notamment des fonctions de répartition) et le calcul intégral.

Inférence bayésienne

Le raisonnement bayésien est à la base de nombreux algorithmes de décision et se retrouve dans de nombreux domaines pratiques : sport, médecine, justice, etc. où l’on doit raisonner à partir de probabilités et d’informations incomplètes.

Répétition d’expériences indépendantes, échantillonnage

Ce thème vise à illustrer le modèle probabiliste de la répétition d’expériences aléatoires indépendantes et de l’échantillonnage ainsi que ses applications à l’inférence statistique, où il s’agit, à partir de l’observation d’un échantillon, d’induire des propriétés de la population dont il est issu.

Temps d’attente

Certains phénomènes physiques (temps de désintégration d’un atome radioactif) ou biologiques (durée de vie de certains organismes) possèdent la propriété d’absence de mémoire. Leur modélisation mathématique repose sur l’utilisation des lois géométriques et exponentielles selon que le temps est considéré comme discret ou continu.

Corrélation et causalité

À travers l’étude de séries statistiques à deux variables, l’objectif de ce thème est d’amener l’élève à évaluer une corrélation entre deux phénomènes, à développer une réflexion critique sur le lien entre deux phénomènes corrélés, et finalement à distinguer corrélation et causalité.

Source : Bulletin officiel de l’Éducation nationale