Programme de mathématiques

Terminale générale – Option mathématiques expertes

Nombres complexes

Nombres complexes : point de vue algébrique

Contenus

Ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes. Partie réelle et partie imaginaire. Opérations.
Conjugaison. Propriétés algébriques.
Inverse d’un nombre complexe non nul.
Formule du binôme dans $\mathbb{C}$.

Capacités attendues

Effectuer des calculs algébriques avec des nombres complexes.
Résoudre une équation linéaire $az=b$.
Résoudre une équation simple faisant intervenir $z$ et $\overline{z}$.

Démonstrations

Conjugué d’un produit, d’un inverse, d’une puissance entière.
Formule du binôme.

Nombres complexes : point de vue géométrique

Contenus

Image d’un nombre complexe. Image du conjugué. Affixe d’un point, d’un vecteur.
Module d’un nombre complexe. Interprétation géométrique.
Relation $\left| z \right|^{2}=z\overline{z}$. Module d’un produit, d’un inverse.
Ensemble $\mathbb{U}$ des nombres complexes de module $1$. Stabilité de $\mathbb{U}$ par produit et passage à l’inverse.
Arguments d’un nombre complexe non nul. Interprétation géométrique.
Forme trigonométrique.

Capacités attendues

Déterminer le module et les arguments d’un nombre complexe.
Représenter un nombre complexe par un point. Déterminer l’affixe d’un point.

Démonstrations

Formule $\left| z \right|^{2}=z\overline{z}$. Module d’un produit. Module d’une puissance.

Problèmes possibles

Suite de nombres complexes définie par $z_{n+1}=az_{n}+b$.
Inégalité triangulaire pour deux nombres complexes ; cas d’égalité.
Étude expérimentale de l’ensemble de Mandelbrot, d’ensembles de Julia.

Nombres complexes et trigonométrie

Contenus

Formules d’addition et de duplication à partir du produit scalaire.
Exponentielle imaginaire, notation $e^{i\theta}$. Relation fonctionnelle. Forme exponentielle d’un nombre complexe.
Formules d’Euler : $cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+\,e^{-i\theta}}{2};sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-\,e^{-i\theta}}{2i}$
Formule de Moivre : $cos(n\theta)+isin(n\theta)=(cos(\theta)+isin(\theta))^{n}$

Capacités attendues

Passer de la forme algébrique d’un nombre complexe à sa forme trigonométrique ou exponentielle et inversement.
Effectuer des calculs sur des nombres complexes en choisissant une forme adaptée, en particulier dans le cadre de la résolution de problèmes.
Utiliser les formules d’Euler et de Moivre pour transformer des expressions trigonométriques, dans des contextes divers (intégration, suites, etc.), calculer des puissances de nombres complexes.

Démonstration

Démonstration d’une des formules d’addition.

Équations polynomiales

Contenus

Solutions complexes d’une équation du second degré à coefficients réels.
Factorisation de $z^{n}-a^{n}$ par $z-a$.
Si $P$ est un polynôme et $P(a) = 0,$ factorisation de $P$ par $z-a$.
Un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines.

Capacités attendues

Résoudre une équation polynomiale de degré $2$ à coefficients réels.
Résoudre une équation de degré $3$ à coefficients réels dont une racine est connue.
Factoriser un polynôme dont une racine est connue.

Démonstrations

Factorisation de $z^{n}-a^{n}$ par $z-a$. Factorisation de $P(z)$ par $z-a$ si $P(a) = 0$.
Le nombre de solutions d’une équation polynomiale est inférieur ou égal à son degré.

Problèmes possibles

Racines carrées d’un nombre complexe, équation du second degré à coefficients complexes.
Formules de Viète.
Résolution par radicaux de l’équation de degré $3$.

Utilisation des nombres complexes en géométrie

Contenus

Interprétation géométrique du module et d’un argument de $\frac{c-a}{b-a}$.
Racines $n$-ièmes de l’unité. Description de l’ensemble $\mathbb{U}_{n}$ des racines $n$-ièmes de l’unité. Représentation géométrique. Cas particuliers : $n=2,3,4$.

Capacités attendues

Dans le cadre de la résolution de problème, utiliser les nombres complexes pour étudier des configurations du plan : démontrer un alignement, une orthogonalité, calculer des longueurs, des angles, déterminer des ensembles de points.
Utiliser les racines de l’unité dans l’étude de configurations liées aux polygones réguliers.

Démonstration

Détermination de l’ensemble $\mathbb{U}_{n}$.

Problèmes possibles

Lignes trigonométriques de $\frac{2\pi}{5}$, construction du pentagone régulier à la règle et au compas.
Somme des racines $n$-ièmes de l’unité.
Racines $n$-ièmes d’un nombre complexe.
Transformation de Fourier discrète.

Arithmétique

Contenus

Divisibilité dans $\mathbb{Z}$.
Division euclidienne d’un élément de $\mathbb{Z}$ par un élément de $\mathbb{N}^{*}$.
Congruences dans $\mathbb{Z}$. Compatibilité des congruences avec les opérations.
PGCD de deux entiers. Algorithme d’Euclide.
Couples d’entiers premiers entre eux.
Théorème de Bézout.
Théorème de Gauss.
Nombres premiers. Leur ensemble est infini.
Existence et unicité de la décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers.
Petit théorème de Fermat.

Capacités attendues

Déterminer les diviseurs d’un entier, le PGCD de deux entiers.
Résoudre une congruence $ax\equiv b[n]$. Déterminer un inverse de $a$ modulo $n$ lorsque $a$ et $n$ sont premiers entre eux.
Établir et utiliser des tests de divisibilité, étudier la primalité de certains nombres, étudier des problèmes de chiffrement.
Résoudre des équations diophantiennes simples.

Démonstrations

Écriture du PGCD de $a$ et $b$ sous la forme $ax+by,\,(x,y)\in \mathbb{Z}^{2}$.
Théorème de Gauss.
L’ensemble des nombres premiers est infini.

Exemples d’algorithmes

Algorithme d’Euclide de calcul du PGCD de deux nombres et calcul d’un couple de Bézout.
Crible d’Ératosthène.
Décomposition en facteurs premiers.

Problèmes possibles

Détermination des racines rationnelles d’un polynôme à coefficients entiers.
Lemme chinois et applications à des situations concrètes.
Démonstrations du petit théorème de Fermat.
Problèmes de codage (codes barres, code ISBN, clé du Rib, code Insee).
Étude de tests de primalité : notion de témoin, nombres de Carmichaël.
Problèmes de chiffrement (affine, Vigenère, Hill, RSA).
Recherche de nombres premiers particuliers (Mersenne, Fermat).
Exemples simples de codes correcteurs.
Étude du système cryptographique RSA.
Détermination des triplets pythagoriciens.
Étude des sommes de deux carrés par les entiers de Gauss.
Étude de l’équation de Pell-Fermat.

Graphes et matrices

Contenus

Graphe, sommets, arêtes. Exemple du graphe complet.
Sommets adjacents, degré, ordre d’un graphe, chaîne, longueur d’une chaîne, graphe connexe.
Notion de matrice (tableau de nombres réels). Matrice carrée, matrice colonne, matrice ligne. Opérations. Inverse, puissances d’une matrice carrée.
Exemples de représentations matricielles : matrice d’adjacence d’un graphe ; transformations géométriques du plan ; systèmes linéaires ; suites récurrentes.
Exemples de calcul de puissances de matrices carrées d’ordre $2$ ou $3$.
Suite de matrices colonnes $(U_{n})$ vérifiant une relation de récurrence du type $U_{n+1}=AU_{n}+C$.
Graphe orienté pondéré associé à une chaîne de Markov à deux ou trois états.
Chaîne de Markov à deux ou trois états. Distribution initiale, représentée par une matrice ligne $\pi_{0}$. Matrice de transition, graphe pondéré associé.
Pour une chaîne de Markov à deux ou trois états de matrice $P,$ interprétation du coefficient $(i,j)$ de $P^{n}$. Distribution après $n$ transitions, représentée comme la matrice ligne $\pi_{0}P^{n}$.
Distributions invariantes d’une chaîne de Markov à deux ou trois états.

Capacités attendues

Modéliser une situation par un graphe.
Modéliser une situation par une matrice.
Associer un graphe orienté pondéré à une chaîne de Markov à deux ou trois états.
Calculer l’inverse, les puissances d’une matrice carrée.
Dans le cadre de la résolution de problèmes, utiliser le calcul matriciel, notamment l’inverse et les puissances d’une matrice carrée, pour résoudre un système linéaire, étudier une suite récurrente linéaire, calculer le nombre de chemins de longueur donnée entre deux sommets d’un graphe, étudier une chaîne de Markov à deux ou trois états (calculer des probabilités, déterminer une probabilité invariante).

Démonstrations

Expression du nombre de chemins de longueur $n$ reliant deux sommets d’un graphe à l’aide de la puissance $n$-ième de la matrice d’adjacence.
Pour une chaîne de Markov, expression de la probabilité de passer de l’état $i$ à l’état $j$ en $n$ transitions, de la matrice ligne représentant la distribution après $n$ transitions.

Problèmes possibles

Étude de graphes eulériens.
Interpolation polynomiale.
Marche aléatoire sur un graphe. Étude asymptotique.
Modèle de diffusion d’Ehrenfest.
Modèle « proie-prédateur » discrétisé : évolution couplée de deux suites récurrentes.
Algorithme PageRank.

Source : Bulletin officiel de l’Éducation nationale