Programme de mathématiques
Première générale – Tronc commun
Ce programme de mathématiques est intégré à l’enseignement scientifique en classe de première générale.
Analyse de l’information chiffrée
Contenus
- Analyse statistique de deux caractères.
- Tableau croisé d’effectifs.
- Exemples d’analyse du croisement de deux caractères par représentation graphique (nuage de points, diagrammes en barres, diagrammes circulaires).
- Détermination dans un fichier de données d’un sous-ensemble d’individus répondant à un sous-caractère (filtre, utilisation des ET, OU, NON).
Capacités attendues
- Dresser un tableau croisé de deux caractères à partir d’un fichier de données.
- Utiliser un tableur pour représenter des données sous forme de tableau ou de diagramme.
Phénomènes aléatoires
Contenus
- Fréquence conditionnelle, fréquence marginale.
- Probabilité́ conditionnelle : définition, notation, calcul à partir d’un tableau croisé d’effectifs ou d’un arbre de probabilités.
- Indépendance de deux événements.
- Succession d’événements indépendants, équiprobables ou non.
Capacités attendues
- Construire un tableau croisé d’effectifs ou un arbre de probabilité associé à un phénomène aléatoire.
- Calculer des fréquences conditionnelles et des fréquences marginales à partir d’un tableau croisé d’effectifs.
- Interpréter un tableau croisé en utilisant des fréquences conditionnelles.
- Calculer des probabilités conditionnelles à l’aide d’un tableau croisé d’effectifs ou d’un arbre pondéré.
Phénomènes d’évolution
Suites arithmétiques
Contenus
- Définition par la relation de récurrence.
- Explicitation du terme de rang $n$.
- Sens de variation.
- Représentation graphique.
Fonctions affines
Contenus
- Représentation graphique.
- Sens de variation.
- Lien entre le taux d’accroissement et le coefficient directeur de la droite représentative.
Capacités attendues
- Reconnaître un phénomène discret ou continu de croissance linéaire et savoir le modéliser.
- Calculer un terme de rang donné d’une suite arithmétique définie par une relation fonctionnelle ou une relation de récurrence.
- Réaliser et exploiter la représentation graphique des termes d’une suite arithmétique ou d’une fonction affine.
- Résoudre un problème de seuil dans le cas d’une croissance linéaire.
Suites géométriques à termes strictement positifs
Contenus
- Définition par relation de récurrence.
- Explicitation du terme de rang $n$.
- Sens de variation.
- Représentation graphique.
Fonctions exponentielles
Contenus
- Introduction de la fonction $x\mapsto a^{x}(a^{x}\gt 0, x \geqslant 0)$.
- Propriétés algébriques (admises, par extension des propriétés des puissances entières).
- Variations.
- Représentation graphique.
- Cas particulier de l’exposant $\frac{1}{n}$.
- Taux d’évolution moyen correspondant à $n$ évolutions successives.
Capacités attendues
- Reconnaître un phénomène discret ou continu de croissance exponentielle et savoir le modéliser.
- Calculer un terme de rang donné d’une suite géométrique définie par une relation fonctionnelle ou une relation de récurrence.
- Calculer un taux d’évolution moyen.
- Réaliser et exploiter la représentation graphique des termes d’une suite géométrique ou d’une fonction exponentielle.
- Résoudre un problème de seuil dans le cas d’une croissance exponentielle par le calcul, à l’aide d’une représentation graphique ou en utilisant un outil numérique.
Variation instantanée (nombre dérivé)
Contenus
- Tangente à une courbe en un point.
- Nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente.
Variation globale (fonction dérivée)
Contenus
- Fonction dérivée.
- Sens de variation d’une fonction, lien avec le signe de la fonction dérivée sur un intervalle.
- Dérivée des fonctions constante, identité, carré et cube.
- Dérivée d’une somme, du produit par un nombre réel.
- Application à la dérivée d’un polynôme de degré inférieur ou égal à $3$.
- Tableau de variation, à l’aide si besoin d’un logiciel de calcul formel.
Capacités attendues
- Interpréter le nombre dérivé dans le cadre d’un modèle d’évolution.
- Interpréter géométriquement le nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente.
- Décrire les variations d’un phénomène en mobilisant la dérivée d’une fonction.
- Déterminer le sens de variation d’une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à trois (la forme factorisée de la dérivée pourra être donnée).
- Prévoir l’évolution d’un phénomène grâce à l’étude de la dérivée d’une fonction.
Automatismes
Cette partie du programme ne faisant pas l’objet d’un chapitre spécifique, le développement des capacités énoncées ci-dessous nécessite un entraînement régulier tout au long de l’année.
Représentations graphiques
Capacités attendues
- Préciser sur un graphique les grandeurs en jeu, les unités et les échelles.
- Lire sur un graphique les variations d’une grandeur : croissance ou décroissance, doublement régulier, accélération ou ralentissement de la croissance.
- Estimer graphiquement une valeur atteinte, un antécédent, un seuil.
Traitement de données
Capacités attendues
- Appliquer un pourcentage d’augmentation ou de diminution.
- Calculer un taux d’évolution global à partir de taux d’évolution successifs, calculer un taux d’évolution réciproque.
Calcul numérique et algébrique
Capacités attendues
- Effectuer mentalement des calculs simples mettant en jeu des nombres décimaux, des fractions et des pourcentages.
- Passer d’une écriture d’un nombre à une autre (décimale, fractionnaire, sous forme de pourcentage).
- Utiliser un ordre de grandeur pour contrôler un résultat.
- Effectuer une application numérique d’une formule mathématique (longueurs, aires, volumes) ou d’une formule simple provenant d’une autre discipline.
- Résoudre une équation du premier degré du type $ax + b = cx + d$ ou $\frac{a}{x}=b$ ou une équation du second degré du type $x^{2}=a$.