Équations du second degré | Exercices corrigés | Première

$a)$

Déterminons l’ensemble des solutions de l’équation du second degré $\> 2x^{2}-11x+8=0 \\[2ex]$
Posons $a=2$, $b=-11$ et $c=8$
Calculons le discriminant $\Delta$ :
$$
\begin{aligned}
\Delta &= b^{2}-4ac \\[2ex]
\Delta &= (-11)^{2}-4\times 2\times 8 \\[2ex]
\Delta &= 121-64 \\[2ex]
\Delta &= 57
\end{aligned}
$$
$\Delta$ est strictement positif,
l’équation possède donc deux solutions distinctes que l’on note $x_{1}$ et $x_{2}$ , avec :
$$
x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
$$
Ainsi,
$$
x_{1}=\frac{-(-11)+\sqrt{57}}{2\times2} \quad \text{et} \quad x_{2}=\frac{-(-11)-\sqrt{57}}{2\times2}
$$
Finalement,
$$
x_{1}=\frac{11+\sqrt{57}}{4} \quad \text{et} \quad x_{2}=\frac{11-\sqrt{57}}{4}
$$
L’équation $2x^{2}-11x+8=0 \\$ a donc pour ensemble des solutions $S=\left\{ \frac{11+\sqrt{57}}{4}; \frac{11\mathbf{-}\sqrt{57}}{4} \right\}$

$b)$

Déterminons l’ensemble des solutions de l’équation du second degré $\> 3x^{2}-6x+3=0 \\[2ex]$
Posons $a=3$, $b=-6$ et $c=3$
Calculons le discriminant $\Delta$ :
$$
\begin{aligned}
\Delta &= b^{2}-4ac \\[2ex]
\Delta &= (-6)^{2}-4\times 3\times 3 \\[2ex]
\Delta &= 36-36 \\[2ex]
\Delta &= 0
\end{aligned}
$$
$\Delta$ est nul,
l’équation possède donc une seule solution que l’on note $x_{0}$ , avec :
$$
x_{0}=\frac{-b}{2a}
$$
Ainsi,
$$
\begin{aligned}
x_{0}&=\frac{-(-6)}{2\times3}\\[2ex]
x_{0}&=\frac{6}{6}\\[2ex]
x_{0}&=1
\end{aligned}
$$

L’équation $3x^{2}-6x+3=0 \\$ a donc pour ensemble des solutions $S=\left\{ 1 \right\}$

$c)$

Déterminons l’ensemble des solutions de l’équation du second degré $\> -9x^{2}+2x-5=0 \\[2ex]$
Posons $a=-9$, $b=2$ et $c=-5$
Calculons le discriminant $\Delta$ :
$$
\begin{aligned}
\Delta &= b^{2}-4ac \\[2ex]
\Delta &= 2^{2}-4\times (-9)\times (-5) \\[2ex]
\Delta &= 4-180 \\[2ex]
\Delta &= -176
\end{aligned}
$$
$\Delta$ est strictement négatif,
l’équation $-9x^{2}+2x-5=0 \\$ n’a donc pas de solution.

L’ensemble des solutions est alors $S=\emptyset $

$d)$

Déterminons l’ensemble des solutions de l’équation du second degré $\> 5x^{2}-2x=0 \\[2ex]$

Factorisons le membre de gauche par $x,$

$$
\begin{aligned}
5x^{2}-2x&=0 \\[2ex]
x(5x-2)&=0\\[2ex]
\end{aligned}
$$

Ce qui équivaut à,

$$
\begin{aligned}
x=0 \quad &\text{ou} \quad 5x-2=0\\[2ex]
x=0 \quad  &\text{ou} \quad  5x-2+2=0+2\\[2ex]
x=0 \quad  &\text{ou} \quad  5x=2\\[2ex]
x=0 \quad  &\text{ou} \quad  \frac{5x}{5}=\frac{2}{5}\\[2ex]
x=0 \quad  &\text{ou} \quad  x=\frac{2}{5}
\end{aligned}
$$
L’équation $5x^{2}-2x=0$ a donc pour ensemble des solutions $S=\left\{0; \frac{2}{5}\right\}$

$a)$

Déterminons l’ensemble des solutions de l’équation du second degré $\> -x^{2}-5x=4 \\[2ex]$

Soustrayons $4$ aux deux membres de l’équation,

$$
\begin{aligned}
-x^{2}-5x&=4 \\[2ex]
-x^{2}-5x-4&=4-4  \\[2ex]
-x^{2}-5x-4&=0
\end{aligned}
$$

Posons $a=-\!1$, $b=-5$ et $c=-4$
Calculons le discriminant $\Delta$ :
$$
\begin{aligned}
\Delta &= b^{2}-4ac \\[2ex]
\Delta &= (-5)^{2}-4\times (-1)\times (-4) \\[2ex]
\Delta &= 25-16 \\[2ex]
\Delta &= 9
\end{aligned}
$$
$\Delta$ est strictement positif,
l’équation possède donc deux solutions distinctes que l’on note $x_{1}$ et $x_{2}$ , avec :
$$
x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
$$
Ainsi,
$$
\begin{aligned}
x_{1}=\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2\times(-1)} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2\times(-1)}\\[2ex]
x_{1}=\frac{5+3}{-2} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{5-3}{-2}\\[2ex]
x_{1}=\frac{8}{-2} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{2}{-2}\\[2ex]
x_{1}=-4 \quad &\text{et} \quad x_{2}=-1
\end{aligned}
$$
L’équation $-x^{2}-5x=4 \\$ a donc pour ensemble des solutions $S=\left\{ -4; -1 \right\}$

$b)$

Déterminons l’ensemble des solutions de l’équation du second degré $\> x^{2}+6x+9=0 \\[2ex]$

On remarque que $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}$

Ce qui nous permet de résoudre l’équation sans utiliser de discriminant,

$$
\begin{aligned}
x^{2}+6x+9&=0\\[2ex]
(x+3)^{2}&=0\\[2ex]
x+3&=0\\[2ex]
x+3-3&=0-3\\[2ex]
x&=-3
\end{aligned}
$$

L’équation $x^{2}+6x+9=0 \\$ a donc pour ensemble des solutions $S=\left\{ -3 \right\}$

$c)$

Déterminons l’ensemble des solutions de l’équation du second degré $\> 2x(x+4)=12+3x^{2} \\[2ex]$

$$
\begin{aligned}
2x(x+4)&=12+3x^{2} \\[2ex]
2x\times x+2x\times 4&=12+3x^{2}  \\[2ex]
2x^{2}+8x&=12+3x^{2}\\[2ex]
2x^{2}+8x-3x^{2}&=12+3x^{2}-3x^{2}\\[2ex]
-x^{2}+8x&=12\\[2ex]
-x^{2}+8x-12&=12-12\\[2ex]
-x^{2}+8x-12&=0
\end{aligned}
$$

Posons $a=-\!1$, $b=8$ et $c=-12$
Calculons le discriminant $\Delta$ :
$$
\begin{aligned}
\Delta &= b^{2}-4ac \\[2ex]
\Delta &= 8^{2}-4\times (-1)\times (-12) \\[2ex]
\Delta &= 64-48 \\[2ex]
\Delta &= 16
\end{aligned}
$$
$\Delta$ est strictement positif,
l’équation possède donc deux solutions distinctes que l’on note $x_{1}$ et $x_{2}$ , avec :
$$
x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
$$
Ainsi,
$$
\begin{aligned}
x_{1}=\frac{-8+\sqrt{16}}{2\times(-1)} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{-8-\sqrt{16}}{2\times(-1)}\\[2ex]
x_{1}=\frac{-8+4}{-2} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{-8-4}{-2}\\[2ex]
x_{1}=\frac{-4}{-2} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{-12}{-2}\\[2ex]
x_{1}=2 \quad &\text{et} \quad x_{2}=6
\end{aligned}
$$
L’équation $2x(x+4)=12+3x^{2} \\$ a donc pour ensemble des solutions $S=\left\{ 2; 6 \right\}$

$d)$

Déterminons l’ensemble des solutions de l’équation du second degré $\> (4x-1)^{2}=(2x+3)^{2} \\[2ex]$

$$
\begin{aligned}
(4x-1)^{2}&=(2x+3)^{2} \\[2ex]
(4x-1)^{2}-(2x+3)^{2}&=(2x+3)^{2}-(2x+3)^{2}\\[2ex]
(4x-1)^{2}-(2x+3)^{2}&=0\\[2ex]
\end{aligned}
$$

En appliquant l’identité remarquable $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$, on obtient,

$$
\begin{aligned}
((4x-1)-(2x+3))((4x-1)+(2x+3))&=0\\[2ex]
(4x-1-2x-3)(4x-1+2x+3)&=0\\[2ex]
(2x-4)(6x+2)&=0
\end{aligned}
$$

Ce qui équivaut à,

$$
\begin{aligned}
2x-4=0 \quad &\text{ou} \quad 6x+2=0\\[2ex]
2x-4+4=0+4 \quad &\text{ou} \quad 6x+2-2=0-2\\[2ex]
2x=4 \quad &\text{ou} \quad 6x=-2\\[2ex]
\frac{2x}{2}=\frac{4}{2} \quad &\text{ou} \quad \frac{6x}{6}=\frac{-2}{6}\\[2ex]
x=2 \quad &\text{ou} \quad x=\frac{-1}{3}\\[2ex]
x=2 \quad &\text{ou} \quad x=-\frac{1}{3}
\end{aligned}
$$

L’équation $(4x-1)^{2}=(2x+3)^{2} \\$ a donc pour ensemble des solutions $S=\left\{ 2; -\frac{1}{3} \right\}$

$a)$

Déterminons l’ensemble des solutions de l’équation du second degré $\> x^{2}+6x+5=0 \\[2ex]$

Si un polynôme du second degré, de la forme $P(x)=ax^{2}+bx+c$, admet deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$ (distinctes ou confondues), alors,

$$
x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}
$$

Notons $P$ le polynôme défini par $P(x) = x^{2}+6x+5$

Posons $a=1$, $b=6$ et $c=5$

$x_{1}=-1$ est une racine évidente de $P$, en effet,

$$
\begin{aligned}
P(-1)&=(-1)^{2}+6\times(-1)+5\\[2ex]
&=1-6+5\\[2ex]
&=0
\end{aligned}
$$

Notons $x_{2}$ la deuxième racine de $P$, alors,

$$
x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}
$$

C’est-à-dire,

$$
\begin{aligned}
-1+x_{2}&=\frac{-6}{1}\\[2ex]
-1+x_{2}&=-6\\[2ex]
-1+x_{2}+1&=-6+1\\[2ex]
x_{2}&=-5
\end{aligned}
$$

Le polynôme $P$ possède donc deux racines :

$$
x_{1}=-1 \quad et \quad x_{2}=-5
$$

L’équation $ x^{2}+6x+5=0 \\$ a donc pour ensemble des solutions $S=\left\{ -1; -5 \right\}$

$b)$

Déterminons l’ensemble des solutions de l’équation du second degré $\> -3x^{2}+6x+1=0 \\[2ex]$
Posons $a=-3$, $b=6$ et $c=1$
Calculons le discriminant $\Delta$ :
$$
\begin{aligned}
\Delta &= b^{2}-4ac \\[2ex]
\Delta &= 6^{2}-4\times (-3)\times 1 \\[2ex]
\Delta &= 36+12 \\[2ex]
\Delta &= 48
\end{aligned}
$$
$\Delta$ est strictement positif,
l’équation possède donc deux solutions distinctes que l’on note $x_{1}$ et $x_{2}$ , avec :
$$
x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
$$
Ainsi,
$$
\begin{aligned}
x_{1}=\frac{-6+\sqrt{48}}{2\times(-3)} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{-6-\sqrt{48}}{2\times(-3)}\\[2ex]
x_{1}=\frac{-6+\sqrt{16\times3}}{-6} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{-6-\sqrt{16\times3}}{-6}\\[2ex]
x_{1}=\frac{-6+\sqrt{16}\sqrt{3}}{-6} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{-6-\sqrt{16}\sqrt{3}}{-6}\\[2ex]
x_{1}=\frac{-6+4\sqrt{3}}{-6} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{-6-4\sqrt{3}}{-6}\\[2ex]
\end{aligned}
$$

En multipliant par $(-1)$ aux numérateurs et aux dénominateurs,

$$
\begin{aligned}
x_{1}=\frac{-(-6+4\sqrt{3})}{-(-6)} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{-(-6-4\sqrt{3})}{-(-6)}\\[2ex]
x_{1}=\frac{6-4\sqrt{3}}{6} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{6+4\sqrt{3}}{6}\\[2ex]
x_{1}=\frac{2\times3-2\times2\times\sqrt{3}}{2\times3} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{2\times3+2\times2\times\sqrt{3}}{2\times3}\\[2ex]
x_{1}=\frac{2(3-2\sqrt{3})}{2\times3} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{2(3+2\sqrt{3})}{2\times3}\\[2ex]
x_{1}=\frac{3-2\sqrt{3}}{3} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{3+2\sqrt{3}}{3}
\end{aligned}
$$

L’équation $-3x^{2}+6x+1=0 \\$ a donc pour ensemble des solutions $S=\left\{ \frac{3\mathbf{-}2\sqrt{3}}{3}; \frac{3+2\sqrt{3}}{3} \right\}$

$c)$

Déterminons l’ensemble des solutions de l’équation du second degré $\> \frac{x\mathbf{-}2}{x+2}=-3x+1 \\[2ex]$

$x+2=0\>$ si et seulement si $\>x=-2$
Un dénominateur ne pouvant être nul, $(-2)$ est une valeur interdite.

L’équation est donc définie sur $\mathbb{R}\setminus\left\{-2\right\}$

Par conséquent pour tout $x\neq-2$, on a :

$$
\begin{aligned}
\frac{x\mathbf{-}2}{x+2}&=-3x+1\\[2ex]
(x+2)\times\frac{x\mathbf{-}2}{x+2}&=(x+2)\times(-3x+1)\\[2ex]
x-2&=-x\times3x+x\times1-2\times3x+2\times1\\[2ex]
x-2&=-3x^{2}+x-6x+2\\[2ex]
x-2&=-3x^{2}-5x+2\\[2ex]
x-2+3x^{2}+5x-2&=0\\[2ex]
3x^{2}+6x-4&=0
\end{aligned}
$$

Posons $a=3$, $b=6$ et $c=-4$

Calculons le discriminant $\Delta$ :
$$
\begin{aligned}
\Delta &= b^{2}-4ac \\[2ex]
\Delta &= 6^{2}-4\times3\times(-4) \\[2ex]
\Delta &= 36+48 \\[2ex]
\Delta &= 84
\end{aligned}
$$
$\Delta$ est strictement positif,
$(-2)$ n’étant pas solution de l’équation $3x^{2}+6x-4=0$, l’équation $\frac{x\mathbf{-}2}{x+2}\!=\!-3x+1$ possède deux solutions distinctes que l’on note $x_{1}$ et $x_{2}$ , avec :
$$
x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
$$

Ainsi,

$$
\begin{aligned}
x_{1}=\frac{-6+\sqrt{84}}{2\times3} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{-6-\sqrt{84}}{2\times3}\\[2ex]
x_{1}=\frac{-6+\sqrt{4\times21}}{6} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{-6-\sqrt{4\times21}}{6}\\[2ex]
x_{1}=\frac{-6+\sqrt{4}\sqrt{21}}{6} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{-6-\sqrt{4}\sqrt{21}}{6}\\[2ex]
x_{1}=\frac{-6+2\sqrt{21}}{6} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{-6-2\sqrt{21}}{6}\\[2ex]
x_{1}=\frac{-2\times3+2\sqrt{21}}{2\times3} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{-2\times3-2\sqrt{21}}{2\times3}\\[2ex]
x_{1}=\frac{2(-3+\sqrt{21})}{2\times3} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{2(-3-\sqrt{21})}{2\times3}\\[2ex]
x_{1}=\frac{-3+\sqrt{21}}{3} \quad &\text{et} \quad x_{2}=\frac{-3-\sqrt{21}}{3}
\end{aligned}
$$

L’équation $ \ \frac{x\mathbf{-}2}{x+2}=-3x+1 \ $ a donc pour ensemble des solutions $S=\left\{ \frac{\mathbf{-3}+\sqrt{21}}{3}; \frac{\mathbf{-3}\mathbf{-}\sqrt{21}}{3} \right\}$

$d)$

Déterminons l’ensemble des solutions de l’équation du second degré $\> -4x^{2}+5x+6=0 \\[2ex]$

Si un polynôme du second degré, de la forme $P(x)=ax^{2}+bx+c$, admet deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$ (distinctes ou confondues), alors,

$$
x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}
$$

Notons $P$ le polynôme défini par $P(x) = -4x^{2}+5x+6=0$

Posons $a=-4$, $b=5$ et $c=6$

$x_{1}=2$ est une racine évidente de $P$, en effet,

$$
\begin{aligned}
P(2)&=-4\times2^{2}+5\times2+6\\[2ex]
&=-16+10+6\\[2ex]
&=0
\end{aligned}
$$

Notons $x_{2}$ la deuxième racine de $P$, alors,

$$
x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}
$$

C’est-à-dire,

$$
\begin{aligned}
2+x_{2}&=\frac{-5}{-4}\\[2ex]
2+x_{2}&=\frac{5}{4}\\[2ex]
2+x_{2}-2&=\frac{5}{4}-2\\[2ex]
x_{2}&=\frac{5}{4}-\frac{8}{4}\\[2ex]
x_{2}&=\frac{-3}{4}\\[2ex]
x_{2}&=-\frac{3}{4}
\end{aligned}
$$

Le polynôme $P$ possède donc deux racines :

$$
x_{1}=2 \quad et \quad x_{2}=-\frac{3}{4}
$$

L’équation $ -4x^{2}+5x+6=0 \\$ a donc pour ensemble des solutions $S=\left\{2;-\hspace{-0.1em}\frac{3}{4}\right\}$

$a)$

Déterminons l’ensemble des solutions de l’équation $\> x+3\sqrt{x}-2=0 \\[2ex]$

La fonction racine carrée est défini sur $\left[ 0;+\infty \right[$
L’équation $\> x+3\sqrt{x}-2=0 \>$ est donc définie sur $\left[ 0;+\infty \right[$

Soit $x\in\left[ 0;+\infty \right[,$ on pose $X=\sqrt{x}$
Donc $X^{2}=\sqrt{x}^{2}=x$

On a par conséquent l’équivalence,

$$
x+3\sqrt{x}-2=0\Longleftrightarrow X^{2}+3X-2=0
$$

Nommons $P$ le polynôme défini par $P(X)=X^{2}+3X-2$

Calculons le discriminant $\Delta$ du polynôme $P$

On pose $a=1$, $b=3$ et $c=-2$

$$
\begin{aligned}
\Delta &= b^{2}-4ac \\[2ex]
\Delta &= 3^{2}-4\times 1\times (-2) \\[2ex]
\Delta &= 9+8 \\[2ex]
\Delta &= 17
\end{aligned}
$$

$\Delta$ étant strictement positif, le polynôme $P$ a deux racines qui sont,

$$
X_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad X_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
$$

C’est-à-dire,

$$
\begin{aligned}
X_{1}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2\times1} \quad &\text{et} \quad X_{2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{2\times1}\\[2ex]
X_{1}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2} \quad &\text{et} \quad X_{2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}
\end{aligned}
$$

On a donc, pour $x\in\left[ 0;+\infty \right[$ et $X=\sqrt{x}$,

$$
\begin{aligned}
x+3\sqrt{x}-2=0 &\Longleftrightarrow X^{2}+3X-2=0\\[2ex]
&\Longleftrightarrow X=\frac{-3+\sqrt{17}}{2} \quad \text{ou} \quad X=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}\\[2ex]
&\Longleftrightarrow \sqrt{x}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2} \quad \text{ou} \quad \sqrt{x}=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}
\end{aligned}
$$

D’une part,

Pour tout réel $x\in\left[ 0;+\infty \right[, \> \sqrt{x}\geqslant0$

Or $\frac{\mathbf{-}3\mathbf{-}\sqrt{17}}{2}\lt 0$

L’équation $\sqrt{x}=\frac{\mathbf{-}3\mathbf{-}\sqrt{17}}{2}$ n’a donc pas de solution.

D’autre part,

$$
\begin{aligned}
\sqrt{x}=\frac{\mathbf{-}3+\sqrt{17}}{2} &\Longleftrightarrow \sqrt{x}^{2}=\left( \frac{\mathbf{-}3+\sqrt{17}}{2}\right)^{2}\\[2ex]
&\Longleftrightarrow x=\frac{(\mathbf{-}3+\sqrt{17})^{2}}{2^{2}}\\[2ex]
&\Longleftrightarrow x=\frac{(-3)^{2}+2\times(-3)\times\sqrt{17}+\sqrt{17}^{2}}{4}\\[2ex]
&\Longleftrightarrow x=\frac{9-6\sqrt{17}+17}{4}\\[2ex]
&\Longleftrightarrow x=\frac{26-6\sqrt{17}}{4}\\[2ex]
&\Longleftrightarrow x=\frac{2(13-3\sqrt{17})}{2\times2}\\[2ex]
&\Longleftrightarrow x=\frac{13-3\sqrt{17}}{2}
\end{aligned}
$$

L’équation $ x+3\sqrt{x}-2=0 \\$ possède donc $\frac{13\mathbf{-}3\sqrt{17}}{2}$ comme unique solution.
Son ensemble des solutions est donc $S=\left\{\frac{13\mathbf{-}3\sqrt{17}}{2}\right\}$

$b)$

Déterminons l’ensemble des solutions de l’équation $\> 2x^{4}-3x^{2}-10=0 \\[2ex]$

Soit $x\in \mathbb{R},$ on pose $X=x^{2}$
Donc $X^{2}=\left(x^{2}\right)^{2}=x^{4}$

On a par conséquent l’équivalence,

$$
2x^{4}-3x^{2}-10=0\Longleftrightarrow 2X^{2}-3X-10=0
$$

Nommons $P$ le polynôme défini par $P(X)=2X^{2}-3X-10$

Calculons le discriminant $\Delta$ du polynôme $P$

On pose $a=2$, $b=-3$ et $c=-10$

$$
\begin{aligned}
\Delta &= b^{2}-4ac \\[2ex]
\Delta &= (-3)^{2}-4\times 2\times (-10) \\[2ex]
\Delta &= 9+80 \\[2ex]
\Delta &= 89
\end{aligned}
$$

$\Delta$ étant strictement positif, le polynôme $P$ a deux racines qui sont,

$$
X_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad X_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
$$

C’est-à-dire,

$$
\begin{aligned}
X_{1}=\frac{3+\sqrt{89}}{2\times2} \quad &\text{et} \quad X_{2}=\frac{3-\sqrt{89}}{2\times2}\\[2ex]
X_{1}=\frac{3+\sqrt{89}}{4} \quad &\text{et} \quad X_{2}=\frac{3-\sqrt{89}}{4}
\end{aligned}
$$

On a donc, pour $x\in\mathbb{R}$ et $X=x^{2}$,

$$
\begin{aligned}
2x^{4}-3x^{2}-10=0&\Longleftrightarrow 2X^{2}-3X-10=0\\[2ex]
&\Longleftrightarrow X=\frac{3+\sqrt{89}}{4} \quad \text{ou} \quad X=\frac{3-\sqrt{89}}{4}\\[2ex]
&\Longleftrightarrow x^{2}=\frac{3+\sqrt{89}}{4} \quad \text{ou} \quad x^{2}=\frac{3-\sqrt{89}}{4}
\end{aligned}
$$

D’une part,

Pour tout réel $x, \> x^{2}\geqslant0$

Or $\frac{3\mathbf{-}\sqrt{89}}{4}\lt 0$

L’équation $x^{2}=\frac{3\mathbf{-}\sqrt{89}}{4}$ n’a donc pas de solution.

D’autre part,

$$
\begin{aligned}
x^{2}=\frac{3+\sqrt{89}}{4}&\Longleftrightarrow x=\sqrt{\frac{3+\sqrt{89}}{4}} \quad \text{ou} \quad x=-\sqrt{\frac{3+\sqrt{89}}{4}}\\[2ex]
&\Longleftrightarrow x=\frac{\sqrt{3+\sqrt{89}}}{\sqrt{4}} \quad \text{ou} \quad x=-\frac{\sqrt{3+\sqrt{89}}}{\sqrt{4}}\\[2ex]
&\Longleftrightarrow x=\frac{\sqrt{3+\sqrt{89}}}{2} \quad \text{ou} \quad x=-\frac{\sqrt{3+\sqrt{89}}}{2}
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation $ 2x^{4}-3x^{2}-10=0 \\$ est donc $S=\left\{\frac{\sqrt{3+\sqrt{89}}}{2};-\hspace{-0.1em}\frac{\sqrt{3+\sqrt{89}}}{2}\right\}$