Programme de mathématiques

Seconde générale et technologique

Nombres et calculs

Manipuler les nombres réels

Contenus

Ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels, droite numérique.
Intervalles de $\mathbb{R}$. Notations $+\infty$ et $-\infty$.
Notation $\left| a \right|$. Distance entre deux nombres réels.
Représentation de l’intervalle $\left[a-r,a+r \right]$ puis caractérisation par la condition $\left| x-a \right|\leqslant r$.
Ensemble $\mathbb{D}$ des nombres décimaux. Encadrement décimal d’un nombre réel à $10^{-n}$près.
Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels. Nombres irrationnels ; exemples fournis par la géométrie, par exemple $\sqrt{2}$ et $\pi$.

Capacités attendues

Associer à chaque point de la droite graduée un unique nombre réel et réciproquement.
Représenter un intervalle de la droite numérique. Déterminer si un nombre réel appartient à un intervalle donné.
Donner un encadrement, d’amplitude donnée, d’un nombre réel par des décimaux.
Dans le cadre de la résolution de problèmes, arrondir en donnant le nombre de chiffres significatifs adapté à la situation étudiée.

Démonstrations

Le nombre rationnel $\frac{1}{3}$ n’est pas décimal.
Le nombre réel $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Exemple d’algorithme

Déterminer par balayage un encadrement de $\sqrt{2}$ d’amplitude inférieure ou égale à $10^{-n}$.

Approfondissements possibles

Développement décimal illimité d’un nombre réel.
Observation, sur des exemples, de la périodicité du développement décimal de nombres rationnels, du fait qu’un développement décimal périodique correspond à un rationnel.

Utiliser les notions de multiple, diviseur et de nombre premier

Contenus

Notations $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$.
Définition des notions de multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair.

Capacités attendues

Modéliser et résoudre des problèmes mobilisant les notions de multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair, de nombre premier.
Présenter les résultats fractionnaires sous forme irréductible.

Démonstrations

Pour une valeur numérique de $a$, la somme de deux multiples de $a$ est multiple de $a$.
Le carré d’un nombre impair est impair.

Exemples d’algorithmes

Déterminer si un entier naturel $a$ est multiple d’un entier naturel $b$.
Pour des entiers $a$ et $b$ donnés, déterminer le plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$.
Déterminer si un entier naturel est premier.

Utiliser le calcul littéral

Contenus

Règles de calcul sur les puissances entières relatives, sur les racines carrées. Relation $\sqrt{a^{2}}=\left| a \right|$.
Identités $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$, $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ et $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$, à savoir utiliser dans les deux sens.
Exemples simples de calcul sur des expressions algébriques, en particulier sur des expressions fractionnaires.
Somme d’inégalités. Produit d’une inégalité par un réel positif, négatif, en liaison avec le sens de variation d’une fonction affine.
Ensemble des solutions d’une équation, d’une inéquation.

Capacités attendues

Effectuer des calculs numériques ou littéraux mettant en jeu des puissances, des racines carrées, des écritures fractionnaires.
Sur des cas simples de relations entre variables (par exemple $U = RI$, $d = vt$, $S=\pi r^{2}$, $V = abc$, $V=\pi r^{2}h$), exprimer une variable en fonction des autres. Cas d’une relation du premier degré $ax + by = c$.
Choisir la forme la plus adaptée (factorisée, développée réduite) d’une expression en vue de la résolution d’un problème.
Comparer deux quantités en utilisant leur différence, ou leur quotient dans le cas positif.
Modéliser un problème par une inéquation.
Résoudre une inéquation du premier degré.

Démonstrations

Quels que soient les réels positifs $a$ et $b$, on a $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$.
Si $a$ et $b$ sont des réels strictement positifs, $\sqrt{a+b}\lt \sqrt{a}+\sqrt{b}$.
Pour $a$ et $b$ réels positifs, illustration géométrique de l’égalité $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$.

Exemple d’algorithme

Déterminer la première puissance d’un nombre positif donné supérieure ou inférieure à une valeur donnée.

Approfondissements possibles

Développement de $(a+b+c)^{2}$.
Développement de $(a+b)^{3}$.
Inégalité entre moyennes géométrique et arithmétique de deux réels strictement positifs.

Géométrie

Manipuler les vecteurs du plan

Contenus

Vecteur $\overrightarrow{MM’}$ associé à la translation qui transforme $M$ en $M’$. Direction, sens et norme.
Égalité de deux vecteurs. Notation $\overrightarrow{u}$. Vecteur nul.
Somme de deux vecteurs en lien avec l’enchaînement des translations. Relation de Chasles.
Base orthonormée. Coordonnées d’un vecteur. Expression de la norme d’un vecteur.
Expression des coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ en fonction de celles de $A$ et de $B$.
Produit d’un vecteur par un nombre réel. Colinéarité de deux vecteurs.
Déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée, critère de colinéarité. Application à l’alignement, au parallélisme.

Capacités attendues

Représenter géométriquement des vecteurs.
Construire géométriquement la somme de deux vecteurs.
Représenter un vecteur dont on connaît les coordonnées. Lire les coordonnées d’un vecteur.
Calculer les coordonnées d’une somme de vecteurs, d’un produit d’un vecteur par un nombre réel.
Calculer la distance entre deux points. Calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecteurs.
Résoudre des problèmes en utilisant la représentation la plus adaptée des vecteurs.

Démonstration

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.

Approfondissements possibles

Définition vectorielle des homothéties.

Résoudre des problèmes de géométrie

Contenus

Projeté orthogonal d’un point sur une droite.

Capacités attendues

Résoudre des problèmes de géométrie plane sur des figures simples ou complexes (triangles, quadrilatères, cercles).
Calculer des longueurs, des angles, des aires et des volumes.
Traiter de problèmes d’optimisation.

Démonstrations

Le projeté orthogonal du point $M$ sur une droite $\Delta$ est le point de la droite $\Delta$ le plus proche du point $M$.
Relation trigonométrique $cos^{2}(\alpha)+sin^{2}(\alpha)=1$ dans un triangle rectangle.

Approfondissements possibles

Démontrer que les hauteurs d’un triangle sont concourantes.
Expression de l’aire d’un triangle : $\frac{1}{2}ab\sin\widehat{C}$.
Formule d’Al-Kashi.
Le point de concours des médiatrices est le centre du cercle circonscrit.

Représenter et caractériser les droites du plan

Dans cette section, le plan est muni d’un repère orthonormé.

Contenus

Vecteur directeur d’une droite.
Équation de droite : équation cartésienne, équation réduite.
Pente (ou coefficient directeur) d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.

Capacités attendues

Déterminer une équation de droite à partir de deux points, un point et un vecteur directeur ou un point et la pente.
Déterminer la pente ou un vecteur directeur d’une droite donnée par une équation ou une représentation graphique.
Tracer une droite connaissant son équation cartésienne ou réduite.
Établir que trois points sont alignés ou non.
Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes.
Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues, déterminer le point d’intersection de deux droites sécantes.

Démonstration

En utilisant le déterminant, établir la forme générale d’une équation de droite.

Exemples d’algorithme

Étudier l’alignement de trois points dans le plan.
Déterminer une équation de droite passant par deux points donnés.

Approfondissements possibles

Ensemble des points équidistants d’un point et de l’axe des abscisses.
Représentation, sur des exemples, de parties du plan décrites par des inégalités sur les coordonnées.

Fonctions

Se constituer un répertoire de fonctions de référence

Contenus

Fonctions carré, inverse, racine carrée, cube : définitions et courbes représentatives.

Capacités attendues

Pour deux nombres $a$ et $b$ donnés et une fonction de référence $f$, comparer $f(a)$ et $f(b)$ numériquement ou graphiquement.
Pour les fonctions affines, carré, inverse, racine carrée et cube, résoudre graphiquement ou algébriquement une équation ou une inéquation du type $f(x)=k$, $f(x)\lt k$.

Démonstration

Étudier la position relative des courbes d’équation $y=x$, $y=x^{2}$, $y=x^{3}$, pour $x\geqslant 0$.

Représenter algébriquement et graphiquement les fonctions

Contenus

Fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle ou une réunion finie d’intervalles de $\mathbb{R}$.
Courbe représentative : la courbe d’équation $y=f(x)$ est l’ensemble des points du plan dont les coordonnées $(x,y)$ vérifient $y=f(x)$.
Fonction paire, impaire. Traduction géométrique.

Capacités attendues

Exploiter l’équation $y=f(x)$ d’une courbe : appartenance, calcul de coordonnées.
Modéliser par des fonctions des situations issues des mathématiques, des autres disciplines.
Résoudre une équation ou une inéquation du type $f(x)=k$, $f(x) \lt k$, en choisissant une méthode adaptée : graphique, algébrique, logicielle.
Résoudre une équation, une inéquation produit ou quotient, à l’aide d’un tableau de signes.
Résoudre, graphiquement ou à l’aide d’un outil numérique, une équation ou inéquation du type $f(x)=g(x)$, $f(x) \lt g(x)$.

Approfondissements possibles

Étudier la parité d’une fonction dans des cas simples.

Étudier les variations et les extremums d’une fonction

Contenus

Croissance, décroissance, monotonie d’une fonction définie sur un intervalle. Tableau de variations.
Maximum, minimum d’une fonction sur un intervalle.
Pour une fonction affine, interprétation du coefficient directeur comme taux d’accroissement, variations selon son signe.
Variations des fonctions carré, inverse, racine carrée, cube.

Capacités attendues

Relier représentation graphique et tableau de variations.
Déterminer graphiquement les extremums d’une fonction sur un intervalle.
Exploiter un logiciel de géométrie dynamique ou de calcul formel, la calculatrice ou Python pour décrire les variations d’une fonction donnée par une formule.
Relier sens de variation, signe et droite représentative d’une fonction affine.

Démonstration

Variations des fonctions carré, inverse, racine carrée.

Exemples d’algorithme

Pour une fonction dont le tableau de variations est donné, algorithmes d’approximation numérique d’un extremum (balayage, dichotomie).
Algorithme de calcul approché de longueur d’une portion de courbe représentative de fonction.

Approfondissement possible

Relier les courbes représentatives de la fonction racine carrée et de la fonction carré sur $\mathbb{R}^{+}$.

Statistiques et probabilités

Utiliser l’information chiffrée et statistique descriptive

Contenus

Proportion, pourcentage d’une sous-population dans une population.
Ensembles de référence inclus les uns dans les autres : pourcentage de pourcentage.
Évolution : variation absolue, variation relative.
Évolutions successives, évolution réciproque : relation sur les coefficients multiplicateurs (produit, inverse).
Indicateurs de tendance centrale d’une série statistique : moyenne pondérée.
Linéarité de la moyenne.
Indicateurs de dispersion : écart interquartile, écart type.

Capacités attendues

Exploiter la relation entre effectifs, proportions et pourcentages.
Traiter des situations simples mettant en jeu des pourcentages de pourcentages.
Exploiter la relation entre deux valeurs successives et leur taux d’évolution.
Calculer le taux d’évolution global à partir des taux d’évolution successifs. Calculer un taux d’évolution réciproque.
Décrire verbalement les différences entre deux séries statistiques, en s’appuyant sur des indicateurs ou sur des représentations graphiques données.
Pour des données réelles ou issues d’une simulation, lire et comprendre une fonction écrite en Python renvoyant la moyenne $m$, l’écart type $s$, et la proportion d’éléments appartenant à $\left[m-2s,m+2s \right]$.

Modéliser le hasard, calculer des probabilités

L’ensemble des issues est fini.

Contenus

Ensemble (univers) des issues. Événements. Réunion, intersection, complémentaire.
Loi (distribution) de probabilité. Probabilité d’un événement : somme des probabilités des issues.
Relation $P(A\cup B)+P(A\cap B)=P(A)+P(B)$.
Dénombrement à l’aide de tableaux et d’arbres.

Capacités attendues

Utiliser des modèles théoriques de référence (dé, pièce équilibrée, tirage au sort avec équiprobabilité dans une population) en comprenant que les probabilités sont définies a priori.
Construire un modèle à partir de fréquences observées, en distinguant nettement modèle et réalité.
Calculer des probabilités dans des cas simples : expérience aléatoire à deux ou trois épreuves.

Échantillonnage

Contenus

Échantillon aléatoire de taille $n$ pour une expérience à deux issues.
Version vulgarisée de la loi des grands nombres : « Lorsque $n$ est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité. »
Principe de l’estimation d’une probabilité, ou d’une proportion dans une population, par une fréquence observée sur un échantillon.

Capacités attendues

Lire et comprendre une fonction Python renvoyant le nombre ou la fréquence de succès dans un échantillon de taille $n$ pour une expérience aléatoire à deux issues.
Observer la loi des grands nombres à l’aide d’une simulation sur Python ou tableur.
Simuler $N$ échantillons de taille $n$ d’une expérience aléatoire à deux issues. Si $p$ est la probabilité d’une issue et $f$ sa fréquence observée dans un échantillon, calculer la proportion des cas où l’écart entre $p$ et $f$ est inférieur ou égal à $\frac{1}{\sqrt{n}}$.

Algorithmique et programmation

Utiliser les variables et les instructions élémentaires

Contenus

Variables informatiques de type entier, booléen, flottant, chaîne de caractères.
Affectation (notée $\longleftarrow $ en langage naturel).
Séquence d’instructions.
Instruction conditionnelle.
Boucle bornée (for), boucle non bornée (while).

Capacités attendues

Choisir ou déterminer le type d’une variable (entier, flottant ou chaîne de caractères).
Concevoir et écrire une instruction d’affectation, une séquence d’instructions, une instruction conditionnelle.
Écrire une formule permettant un calcul combinant des variables.
Programmer, dans des cas simples, une boucle bornée, une boucle non bornée.
Dans des cas plus complexes : lire, comprendre, modifier ou compléter un algorithme ou un programme.

Notion de fonction

Contenus

Fonctions à un ou plusieurs arguments.
Fonction renvoyant un nombre aléatoire. Série statistique obtenue par la répétition de l’appel d’une telle fonction.

Capacités attendues

Écrire des fonctions simples ; lire, comprendre, modifier, compléter des fonctions plus complexes. Appeler une fonction.
Lire et comprendre une fonction renvoyant une moyenne, un écart type. Aucune connaissance sur les listes n’est exigée.
Écrire des fonctions renvoyant le résultat numérique d’une expérience aléatoire, d’une répétition d’expériences aléatoires indépendantes.

Vocabulaire ensembliste et logique

L’apprentissage des notations mathématiques et de la logique est transversal à tous les chapitres du programme. Aussi, il importe d’y travailler d’abord dans des contextes où ils se présentent naturellement, puis de prévoir des temps où les concepts et types de raisonnement sont étudiés, après avoir été́ rencontrés plusieurs fois en situation.

Les élèves doivent connaître les notions d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble, d’appartenance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire, et savoir utiliser les symboles de base correspondant : $\in$, $\subset$, $\cap$, $\cup$, ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. Ils rencontrent également la notion de couple. Pour le complémentaire d’un sous-ensemble $A$ de $E$, on utilise la notation des probabilités $\overline{A}$, ou la notation $E\backslash A$.

Les élèves apprennent en situation à :

reconnaître ce qu’est une proposition mathématique, à utiliser des variables pour écrire des propositions mathématiques ;
lire et écrire des propositions contenant les connecteurs « et », « ou » ;
formuler la négation de propositions simples (sans implication ni quantificateurs) ;
mobiliser un contre-exemple pour montrer qu’une proposition est fausse ;
formuler une implication, une équivalence logique, et à les mobiliser dans un raisonnement simple ;
formuler la réciproque d’une implication ;
lire et écrire des propositions contenant une quantification universelle ou existentielle (les symboles $\forall $ et $\exists $ sont hors programme).

Par ailleurs, les élèves produisent des raisonnements par disjonction des cas et par l’absurde.

Source : Bulletin officiel de l’Éducation nationale