Équations | Exercices corrigés | 4e - 3e

$a)$

$$
\begin{aligned}
2x+4&=9 \\[2ex]
2x+4-4&=9-4 \\[2ex]
2x&=5 \\[2ex]
\frac{2x}{2}&=\frac{5}{2} \\[2ex]
x&=\frac{5}{2}
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{\frac{5}{2}\right\}$

$b)$

$$
\begin{aligned}
-3x-5&=7 \\[2ex]
-3x-5+5&=7+5\\[2ex]
-3x&=12\\[2ex]
\frac{-3x}{-3}&=\frac{12}{-3} \\[2ex]
x&=-\frac{12}{3} \\[2ex]
x&=-4
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{-\hspace{-0.1em}4\right\}$

$c)$

$$
\begin{aligned}
7x-9&=-10 \\[2ex]
7x-9+9&=-10+9 \\[2ex]
7x&=-1\\[2ex]
x&=\frac{-1}{7}\\[2ex]
x&=-\frac{1}{7}
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{-\hspace{-0.1em}\frac{1}{7}\right\}$

$d)$

$$
\begin{aligned}
2+4x&=22 \\[2ex]
2+4x-2&=22-2 \\[2ex]
4x&=20 \\[2ex]
\frac{4x}{4}&=\frac{20}{4} \\[2ex]
x&=5
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{5\right\}$

$a)$

$$
\begin{aligned}
-10x+8&=22 \\[2ex]
-10x+8-8&=22-8 \\[2ex]
-10x&=14 \\[2ex]
\frac{-10x}{-10}&=\frac{14}{-10} \\[2ex]
x&=\frac{14}{-10} \\[2ex]
x&=-\frac{14}{10} \\[2ex]
x&=-\frac{7}{5}
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{-\hspace{-0.1em}\frac{7}{5}\right\}$

$b)$

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{5}x+7&=6 \\[2ex]
\frac{1}{5}x+7-7&=6-7 \\[2ex]
\frac{1}{5}x&=-1 \\[2ex]
\frac{\frac{1}{5}x}{\frac{1}{5}}&=\frac{-1}{\frac{1}{5}} \\[2ex]
x&=-1 \times \frac{5}{1} \\[2ex]
x&=-1 \times 5 \\[2ex]
x&=-5
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{-\hspace{-0.1em}5\right\}$

$c)$

$$
\begin{aligned}
-\frac{3}{2}x+\frac{2}{9}&=1 \\[2ex]
-\frac{3}{2}x+\frac{2}{9} – \frac{2}{9}&=1 – \frac{2}{9} \\[2ex]
-\frac{3}{2}x&=1 – \frac{2}{9} \\[2ex]
-\frac{3}{2}x&=\frac{9}{9} – \frac{2}{9} \\[2ex]
-\frac{3}{2}x&=\frac{7}{9} \\[2ex]
\frac{-\frac{3}{2}x}{-\frac{3}{2}}&=\frac{\frac{7}{9}}{-\frac{3}{2}} \\[2ex]
x&=\frac{\frac{7}{9}}{-\frac{3}{2}} \\[2ex]
x&=\frac{\frac{7}{9}}{\frac{\mathbf{-}3}{2}} \\[2ex]
x&=\frac{7}{9}\times\frac{2}{-3} \\[2ex]
x&=\frac{7\times2}{9\times(-3)} \\[2ex]
x&=\frac{14}{-27} \\[2ex]
x&=-\frac{14}{27}
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{-\hspace{-0.1em}\frac{14}{27}\right\}$

$d)$

$$
\begin{aligned}
\frac{9}{4}x+8&=-5\\[2ex]
\frac{9}{4}x+8-8&=-5-8\\[2ex]
\frac{9}{4}x&=-13\\[2ex]
\frac{\frac{9}{4}x}{\frac{9}{4}}&=\frac{-13}{\frac{9}{4}}\\[2ex]
x&=\frac{-13}{\frac{9}{4}} \\[2ex]
x&=-13\times\frac{4}{9} \\[2ex]
x&=\frac{-13\times4}{9} \\[2ex]
x&=\frac{-52}{9} \\[2ex]
x&=-\frac{52}{9}
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{-\hspace{-0.1em}\frac{52}{9}\right\}$

$a)$

$$
\begin{aligned}
5x-4&=2+4x \\[2ex]
5x-4+4&=2+4x+4 \\[2ex]
5x&=6+4x\\[2ex]
5x-4x&=6+4x-4x\\[2ex]
x&=6
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{6\right\}$

$b)$

$$
\begin{aligned}
2-x&=x+6 \\[2ex]
2-x+x&=x+6+x \\[2ex]
2&=2x+6 \\[2ex]
2-6&=2x+6-6 \\[2ex]
-4&=2x \\[2ex]
\frac{-4}{2}&=\frac{2x}{2} \\[2ex]
-2&=x \\[2ex]
x&=-2
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{-\hspace{-0.1em}2\right\}$

$c)$

$$
\begin{aligned}
7x+4&=2-3x \\[2ex]
7x+4-4&=2-3x-4 \\[2ex]
7x&=-2-3x \\[2ex]
7x+3x&=-2-3x+3x \\[2ex]
10x&=-2 \\[2ex]
\frac{10x}{10}&=\frac{-2}{10} \\[2ex]
x&=\frac{-2}{10} \\[2ex]
x&=\frac{-1}{5} \\[2ex]
x&=-\frac{1}{5}
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{-\hspace{-0.1em}\frac{1}{5}\right\}$

$d)$

$$
\begin{aligned}
-9x+12&=-10x+1 \\[2ex]
-9x+12+9x&=-10x+1+9x \\[2ex]
12&=-x+1 \\[2ex]
12-1&=-x+1-1 \\[2ex]
11&=-x \\[2ex]
-11&=x \\[2ex]
x&=-11
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{-\hspace{-0.1em}11\right\}$

$a)$

$$
\begin{aligned}
7(x+1)&=3(5x-4)\\[2ex]
7\times x+7\times 1&=3\times 5x-3\times 4 \\[2ex]
7x+7&=15x-12\\[2ex]
7x+7-7&=15x-12-7\\[2ex]
7x&=15x-19\\[2ex]
7x-15x&=15x-19-15x\\[2ex]
-8x&=-19\\[2ex]
\frac{-8x}{-8}&=\frac{-19}{-8}\\[2ex]
x&=\frac{19}{8}
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{\frac{19}{8}\right\}$

$b)$

$$
\begin{aligned}
3(4x-2)-2(1-x)&=5\\[2ex]
3\times 4x-3\times 2-2\times 1 + 2\times x &= 5\\[2ex]
12x-6-2+2x&=5\\[2ex]
14x-8&=5\\[2ex]
14x-8+8&=5+8\\[2ex]
14x&=13\\[2ex]
\frac{14x}{14}&=\frac{13}{14}\\[2ex]
x&=\frac{13}{14}
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{\frac{13}{14}\right\}$

$c)$

$$
\begin{aligned}
3(x+2)+6&=4-x\\[2ex]
3\times x + 3\times 2 + 6 &= 4-x\\[2ex]
3x+6+6&=4-x\\[2ex]
3x+12&=4-x\\[2ex]
3x+12-12&=4-x-12\\[2ex]
3x&=-8-x\\[2ex]
3x+x&=-8-x+x\\[2ex]
4x&=-8\\[2ex]
\frac{4x}{4}&=\frac{-8}{4}\\[2ex]
x&=-\frac{8}{4}\\[2ex]
x&=-2
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{-\hspace{-0.1em}2\right\}$

$d)$

$$
\begin{aligned}
7(x-9)&=2(3-2x)\\[2ex]
7\times x-7\times 9 &= 2\times 3-2 \times 2x\\[2ex]
7x-63&=6-4x\\[2ex]
7x-63+63&=6-4x+63\\[2ex]
7x&=69-4x\\[2ex]
7x+4x&=69-4x+4x\\[2ex]
11x&=69\\[2ex]
\frac{11x}{11}&=\frac{69}{11}\\[2ex]
x&=\frac{69}{11}
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{\frac{69}{11}\right\}$

$a)$

$$
\begin{aligned}
x^{2}-5x+4&=x^{2}+3x+20\\[2ex]
x^{2}-5x+4-x^{2}&=x^{2}+3x+20-x^{2}\\[2ex]
-5x+4&=3x+20\\[2ex]
-5x+4-4&=3x+20-4\\[2ex]
-5x&=3x+16\\[2ex]
-5x-3x&=3x+16-3x\\[2ex]
-8x&=16\\[2ex]
\frac{-8x}{-8}&=\frac{16}{-8}\\[2ex]
x&=-\frac{16}{8}\\[2ex]
x&=-2
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{-\hspace{-0.1em}2\right\}$

$b)$

$$
\begin{aligned}
(x+3)^{2}&=x^{2}-6x+9\\[2ex]
(x+3)(x+3)&=x^{2}-6x+9\\[2ex]
x\times x + x\times 3 + 3\times x + 3\times 3 &= x^{2}-6x+9\\[2ex]
x^{2} + 3x + 3x + 9 &= x^{2}-6x+9\\[2ex]
x^{2} + 6x + 9 &= x^{2}-6x+9\\[2ex]
x^{2} + 6x + 9-x^{2}&= x^{2}-6x+9-x^{2}\\[2ex]
6x+9&=-6x+9\\[2ex]
6x+9-9&=-6x+9-9\\[2ex]
6x&=-6x\\[2ex]
6x+6x&=-6x+6x\\[2ex]
12x&=0\\[2ex]
x&=0
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{0\right\}$

$a)$

$$
\begin{aligned}
\frac{2}{5}x+\frac{1}{7}&=-\frac{7}{9}x-\frac{2}{3}\\[2ex]
\frac{2}{5}x+\frac{1}{7}+\frac{7}{9}x&=-\frac{7}{9}x-\frac{2}{3}+\frac{7}{9}x\\[2ex]
\frac{2}{5}x+\frac{1}{7}+\frac{7}{9}x&=-\frac{2}{3}\\[2ex]
\frac{2}{5}x+\frac{1}{7}+\frac{7}{9}x-\frac{1}{7}&=-\frac{2}{3}-\frac{1}{7}\\[2ex]
\frac{2}{5}x+\frac{7}{9}x&=-\frac{2}{3}-\frac{1}{7}\\[2ex]
x\left(\frac{2}{5}+\frac{7}{9}\right)&=-\hspace{-0.1em}\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{7}\right)\\[2ex]
x\left(\frac{2\times 9}{5\times 9}+\frac{7\times 5}{9\times 5}\right)&=-\hspace{-0.1em}\left(\frac{2\times 7}{3\times 7}+\frac{1\times 3}{7\times 3}\right)\\[2ex]
x\left(\frac{18}{45}+\frac{35}{45}\right)&=-\hspace{-0.1em}\left(\frac{14}{21}+\frac{3}{21}\right)\\[2ex]
x\times \frac{18+35}{45}&=-\frac{14+3}{21}\\[2ex]
x\times \frac{53}{45}&=-\frac{17}{21}\\[2ex]
\frac{53}{45}x&=-\frac{17}{21}\\[2ex]
\frac{\frac{53}{45}x}{\frac{53}{45}}&=\frac{-\frac{17}{21}}{\frac{53}{45}}\\[2ex]
x&=-\frac{\frac{17}{21}}{\frac{53}{45}}\\[2ex]
x&=-\frac{17}{21}\times \frac{45}{53}\\[2ex]
x&=-\frac{17\times 45}{21\times 53}\\[2ex]
x&=-\frac{17\times 5\times 3\times 3}{3\times 7\times 53}\\[2ex]
x&=-\frac{17\times 5\times 3}{7\times 53}\\[2ex]
x&=-\frac{255}{371}
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{-\hspace{-0.1em}\frac{255}{371}\right\}$

$b)$

$$
\begin{aligned}
\frac{3}{2}(2x-1)&=\frac{5}{4}x+8\\[2ex]
\frac{3}{2}\times 2x-\frac{3}{2}\times 1&=\frac{5}{4}x+8\\[2ex]
3x-\frac{3}{2}&=\frac{5}{4}x+8\\[2ex]
3x-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}&=\frac{5}{4}x+8+\frac{3}{2}\\[2ex]
3x&=\frac{5}{4}x+8+\frac{3}{2}\\[2ex]
3x-\frac{5}{4}x&=\frac{5}{4}x+8+\frac{3}{2}-\frac{5}{4}x\\[2ex]
3x-\frac{5}{4}x&=8+\frac{3}{2}\\[2ex]
x\left(3-\frac{5}{4}\right)&=\frac{16}{2}+\frac{3}{2}\\[2ex]
x\left(\frac{12}{4}-\frac{5}{4}\right)&=\frac{19}{2}\\[2ex]
x\times \frac{7}{4}&=\frac{19}{2}\\[2ex]
\frac{x\times \frac{7}{4}}{\frac{7}{4}}&=\frac{\frac{19}{2}}{\frac{7}{4}}\\[2ex]
x&=\frac{19}{2}\times \frac{4}{7}\\[2ex]
x&=\frac{19\times 4}{2\times 7}\\[2ex]
x&=\frac{19\times 2\times 2}{2\times 7}\\[2ex]
x&=\frac{19\times 2}{7}\\[2ex]
x&=\frac{38}{7}
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{\frac{38}{7}\right\}$

$c)$

$$
\begin{aligned}
\frac{5x-1}{3}-\frac{2}{9}&=-\frac{1}{4}x-1\\[2ex]
\frac{5x}{3}-\frac{1}{3}-\frac{2}{9}&=-\frac{1}{4}x-1\\[2ex]
\frac{5}{3}x-\frac{1\times 3}{3\times 3}-\frac{2}{9}&=-\frac{1}{4}x-\frac{9}{9}\\[2ex]
\frac{5}{3}x-\frac{3}{9}-\frac{2}{9}&=-\frac{1}{4}x-\frac{9}{9}\\[2ex]
\frac{5}{3}x-\frac{5}{9}&=-\frac{1}{4}x-\frac{9}{9}\\[2ex]
\frac{5}{3}x-\frac{5}{9}+\frac{5}{9}&=-\frac{1}{4}x-\frac{9}{9}+\frac{5}{9}\\[2ex]
\frac{5}{3}x&=-\frac{1}{4}x-\frac{4}{9}\\[2ex]
\frac{5}{3}x+\frac{1}{4}x&=-\frac{1}{4}x-\frac{4}{9}+\frac{1}{4}x\\[2ex]
\frac{5}{3}x+\frac{1}{4}x&=-\frac{4}{9}\\[2ex]
x\left(\frac{5}{3}+\frac{1}{4}\right)&=-\frac{4}{9}\\[2ex]
x\left(\frac{5\times 4}{3\times 4}+\frac{1\times 3}{4\times 3}\right)&=-\frac{4}{9}\\[2ex]
x\left(\frac{20}{12}+\frac{3}{12}\right)&=-\frac{4}{9}\\[2ex]
x\times \frac{23}{12}&=\frac{-4}{9}\\[2ex]
\frac{x\times \frac{23}{12}}{\frac{23}{12}}&=\frac{\frac{-4}{9}}{\frac{23}{12}}\\[2ex]
x&=\frac{-4}{9}\times \frac{12}{23}\\[2ex]
x&=\frac{-4\times 12}{9\times 23}\\[2ex]
x&=-\frac{2\times 2\times 2\times 2\times 3}{3\times 3\times 23}\\[2ex]
x&=-\frac{2\times 2\times 2\times 2}{3\times 23}\\[2ex]
x&=-\frac{16}{69}
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{-\hspace{-0.1em}\frac{16}{69}\right\}$

$d)$

$$
\begin{aligned}
\frac{9-8x}{4}-\frac{5}{11}&=\frac{x+2}{5}-\frac{9}{2}\\[2ex]
\frac{9}{4}-\frac{8x}{4}-\frac{5}{11}&=\frac{x}{5}+\frac{2}{5}-\frac{9}{2}\\[2ex]
\frac{9}{4}-2x-\frac{5}{11}&=\frac{x}{5}+\frac{2}{5}-\frac{9}{2}\\[2ex]
\frac{9}{4}-2x-\frac{5}{11}+2x&=\frac{x}{5}+\frac{2}{5}-\frac{9}{2}+2x\\[2ex]
\frac{9}{4}-\frac{5}{11}&=\frac{x}{5}+\frac{2}{5}-\frac{9}{2}+2x\\[2ex]
\frac{9}{4}-\frac{5}{11}-\frac{2}{5}+\frac{9}{2}&=\frac{x}{5}+\frac{2}{5}-\frac{9}{2}+2x-\frac{2}{5}+\frac{9}{2}\\[2ex]
\frac{9}{4}-\frac{5}{11}-\frac{2}{5}+\frac{9}{2}&=\frac{x}{5}+2x\\[2ex]
\frac{9\times 5}{4\times 5}-\frac{5}{11}-\frac{2\times 4}{5\times 4}+\frac{9\times 10}{2\times 10}&=\frac{1}{5}x+2x\\[2ex]
\frac{45}{20}-\frac{5}{11}-\frac{8}{20}+\frac{90}{20}&=\frac{1}{5}x+2x\\[2ex]
\frac{45-8+90}{20}-\frac{5}{11}&=x\left(\frac{1}{5}+2\right)\\[2ex]
\frac{127}{20}-\frac{5}{11}&=x\left(\frac{1}{5}+\frac{10}{5}\right)\\[2ex]
\frac{127\times 11}{20\times 11}-\frac{5\times 20}{11\times 20}&=x\times \frac{11}{5}\\[2ex]
\frac{1397}{220}-\frac{100}{220}&=\frac{11}{5}x\\[2ex]
\frac{1297}{220}&=\frac{11}{5}x\\[2ex]
\frac{\frac{1297}{220}}{\frac{11}{5}}&=\frac{\frac{11}{5}x}{\frac{11}{5}}\\[2ex]
\frac{\frac{1297}{220}}{\frac{11}{5}}&=x\\[2ex]
\frac{1297}{220}\times \frac{5}{11}&=x\\[2ex]
\frac{1297\times 5}{220\times 11}&=x\\[2ex]
\frac{1297\times 5}{2\times 2\times 5\times 11\times 11}&=x\\[2ex]
\frac{1297}{2\times 2\times 11\times 11}&=x\\[2ex]
x&=\frac{1297}{484}
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{\frac{1297}{484}\right\}$

$a)$

$$
\begin{aligned}
(3x-4)&(2x+1)=0\\[2ex]
3x-4=0 \quad  &\text{ou} \quad  2x+1=0\\[2ex]
3x-4+4=0+4 \quad  &\text{ou} \quad  2x+1-1=0-1\\[2ex]
3x=4 \quad  &\text{ou} \quad  2x=-1\\[2ex]
\frac{3x}{3}=\frac{4}{3} \quad  &\text{ou} \quad  \frac{2x}{2}=\frac{-1}{2}\\[2ex]
x=\frac{4}{3} \quad  &\text{ou} \quad  x=\frac{-1}{2}\\[2ex]
x=\frac{4}{3} \quad  &\text{ou} \quad  x=-\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{ \frac{4}{3};-\hspace{-0.1em}\frac{1}{2} \right\}$

$b)$

$$
\begin{aligned}
(x-1)&(5x+2)=0\\[2ex]
x-1=0 \quad  &\text{ou} \quad  5x+2=0\\[2ex]
x-1+1=0+1 \quad  &\text{ou} \quad  5x+2-2=0-2\\[2ex]
x=1 \quad  &\text{ou} \quad  5x=-2\\[2ex]
x=1 \quad  &\text{ou} \quad  \frac{5x}{5}=\frac{-2}{5}\\[2ex]
x=1 \quad  &\text{ou} \quad  x=\frac{-2}{5}\\[2ex]
x=1 \quad  &\text{ou} \quad  x=-\frac{2}{5}
\end{aligned}
$$
L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{ 1;-\hspace{-0.1em}\frac{2}{5} \right\}$

$c)$

$$
\begin{aligned}
x(4&-8x)=0\\[2ex]
x=0 \quad  &\text{ou} \quad 4-8x=0\\[2ex]
x=0 \quad  &\text{ou} \quad 4-8x-4=0-4\\[2ex]
x=0 \quad  &\text{ou} \quad -8x=-4\\[2ex]
x=0 \quad  &\text{ou} \quad \frac{-8x}{-8}=\frac{-4}{-8}\\[2ex]
x=0 \quad  &\text{ou} \quad x=\frac{4}{8}\\[2ex]
x=0 \quad  &\text{ou} \quad x=\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{ 0;\frac{1}{2} \right\}$

$d)$

$$
\begin{aligned}
(7x+9)&(2-x)=0\\[2ex]
7x+9=0 \quad  &\text{ou} \quad  2-x=0\\[2ex]
7x+9-9=0-9 \quad  &\text{ou} \quad  2-x-2=0-2\\[2ex]
7x=-9 \quad  &\text{ou} \quad  -\hspace{-0.2em}x=-2\\[2ex]
\frac{7x}{7}=\frac{-9}{7} \quad  &\text{ou} \quad  x=2\\[2ex]
x=\frac{-9}{7} \quad  &\text{ou} \quad  x=2\\[2ex]
x=-\frac{9}{7} \quad  &\text{ou} \quad  x=2
\end{aligned}
$$
L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{ -\hspace{-0.1em}\frac{9}{7};2 \right\}$

$a)$

$$
\begin{aligned}
x^{2}&=9^{2}\\[2ex]
x^{2}-9^{2}&=9^{2}-9^{2}\\[2ex]
x^{2}-9^{2}&=0\\[2ex]
(x-9)(x+9)&=0
\end{aligned}
$$

Ce qui équivaut à,

$$
\begin{aligned}
x-9=0 \quad  &\text{ou} \quad  x+9=0\\[2ex]
x-9+9=0+9 \quad  &\text{ou} \quad  x+9-9=0-9\\[2ex]
x=9 \quad  &\text{ou} \quad  x=-9
\end{aligned}
$$
L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{9; -\hspace{-0.1em}9 \right\}$

$b)$

$$
\begin{aligned}
x^{2}&=100\\[2ex]
x^{2}&=10^{2}\\[2ex]
x^{2}-10^{2}&=10^{2}-10^{2}\\[2ex]
x^{2}-10^{2}&=0\\[2ex]
(x-10)(x+10)&=0
\end{aligned}
$$

Ce qui équivaut à,

$$
\begin{aligned}
x-10=0 \quad  &\text{ou} \quad  x+10=0\\[2ex]
x-10+10=0+10 \quad  &\text{ou} \quad  x+10-10=0-10\\[2ex]
x=10 \quad  &\text{ou} \quad  x=-10
\end{aligned}
$$
L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{10; -\hspace{-0.1em}10 \right\}$

$c)$

$$
\begin{aligned}
x^{2}&=3\\[2ex]
x^{2}&=\sqrt{3}^{2}\\[2ex]
x^{2}-\sqrt{3}^{2}&=\sqrt{3}^{2}-\sqrt{3}^{2}\\[2ex]
x^{2}-\sqrt{3}^{2}&=0\\[2ex]
(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})&=0
\end{aligned}
$$

Ce qui équivaut à,

$$
\begin{aligned}
x-\sqrt{3}=0 \quad  &\text{ou} \quad  x+\sqrt{3}=0\\[2ex]
x-\sqrt{3}+\sqrt{3}=0+\sqrt{3} \quad  &\text{ou} \quad  x+\sqrt{3}-\sqrt{3}=0-\sqrt{3}\\[2ex]
x=\sqrt{3} \quad  &\text{ou} \quad  x=-\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{\sqrt{3}; -\sqrt{3} \right\}$

$d)$

$$
\begin{aligned}
x^{2}&=7\\[2ex]
x^{2}&=\sqrt{7}^{2}\\[2ex]
x^{2}-\sqrt{7}^{2}&=\sqrt{7}^{2}-\sqrt{7}^{2}\\[2ex]
x^{2}-\sqrt{7}^{2}&=0\\[2ex]
(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})&=0
\end{aligned}
$$

Ce qui équivaut à,

$$
\begin{aligned}
x-\sqrt{7}=0 \quad  &\text{ou} \quad  x+\sqrt{7}=0\\[2ex]
x-\sqrt{7}+\sqrt{7}=0+\sqrt{7} \quad  &\text{ou} \quad  x+\sqrt{7}-\sqrt{7}=0-\sqrt{7}\\[2ex]
x=\sqrt{7} \quad  &\text{ou} \quad  x=-\sqrt{7}
\end{aligned}
$$
L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{\sqrt{7}; -\sqrt{7} \right\}$

$a)$

$$
\begin{aligned}
(4x-1)(9x+4)&=(1-6x)^{2}\\[2ex]
(4x-1)(9x+4)&=(1-6x)(1-6x)\\[2ex]
4x\times 9x+4x\times 4-1\times9x-1\times4&=1\times 1-1\times 6x-6x\times 1+6x\times 6x\\[2ex]
36x^{2}+16x-9x-4&=1-6x-6x+36x^{2}\\[2ex]
36x^{2}+7x-4&=1-12x+36x^{2}\\[2ex]
36x^{2}+7x-4-36x^{2}&=1-12x+36x^{2}-36x^{2}\\[2ex]
7x-4&=1-12x\\[2ex]
7x-4+4&=1-12x+4\\[2ex]
7x&=5-12x\\[2ex]
7x+12x&=5-12x+12x\\[2ex]
19x&=5\\[2ex]
\frac{19x}{19}&=\frac{5}{19}\\[2ex]
x&=\frac{5}{19}
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{\frac{5}{19}\right\}$

$b)$

$$
\begin{aligned}
x^{2}-9&=(x-3)^{2}\\[2ex]
x^{2}-3^{2}&=(x-3)^{2}\\[2ex]
(x-3)(x+3)&=(x-3)^{2}\\[2ex]
(x-3)(x+3)-(x-3)^{2}&=(x-3)^{2}-(x-3)^{2}\\[2ex]
(x-3)(x+3)-(x-3)^{2}&=0\\[2ex]
(x-3)(x+3)-(x-3)(x-3)&=0\\[2ex]
(x-3)((x+3)-(x-3))&=0\\[2ex]
(x-3)(x+3-x+3)&=0\\[2ex]
(x-3)\times 6&=0\\[2ex]
x-3&=0\\[2ex]
x-3+3&=0+3\\[2ex]
x&=3
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{3\right\}$

$c)$

$$
\begin{aligned}
(x+5)^{2}&=(x-5)^{2}\\[2ex]
(x+5)(x+5)&=(x-5)(x-5)\\[2ex]
x\times x+x\times 5+5\times x+5\times 5&=x\times x-x\times 5-5\times x+5\times 5\\[2ex]
x^{2}+5x+5x+25&=x^{2}-5x-5x+25\\[2ex]
x^{2}+10x+25&=x^{2}-10x+25\\[2ex]
x^{2}+10x+25-25&=x^{2}-10x+25-25\\[2ex]
x^{2}+10x&=x^{2}-10x\\[2ex]
x^{2}+10x-x^{2}&=x^{2}-10x-x^{2}\\[2ex]
10x&=-10x\\[2ex]
10x+10x&=-10x+10x\\[2ex]
20x&=0\\[2ex]
x&=0
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{0\right\}$

$d)$

$$
\begin{aligned}
(2x-4)(1+x)+(5-2x)(x-7)&=10\\[2ex]
2x\times 1+2x\times x-4\times 1-4\times x+5\times x-5\times 7-2x\times x+2x\times 7&=10\\[2ex]
2x+2x^{2}-4-4x+5x-35-2x^{2}+14x&=10\\[2ex]
17x-39&=10\\[2ex]
17x-39+39&=10+39\\[2ex]
17x&=49\\[2ex]
\frac{17}{17}&=\frac{49}{17}\\[2ex]
x&=\frac{49}{17}
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{\frac{49}{17}\right\}$

$a)$

$$
\begin{aligned}
(2x-4)(x+1)+(2x-4)(5-2x)&=0\\[2ex]
(2x-4)\bigl[(x+1)+(5-2x)\bigl]&=0\\[2ex]
(2x-4)(x+1+5-2x)&=0\\[2ex]
(2x-4)(-x+6)&=0
\end{aligned}
$$

Ce qui équivaut à,

$$
\begin{aligned}
2x-4=0 \quad  &\text{ou} \quad  -\!x+6=0\\[2ex]
2x-4+4=0+4 \quad  &\text{ou} \quad  -\!x+6+x=0+x\\[2ex]
2x=4 \quad  &\text{ou} \quad  6=x\\[2ex]
\frac{2x}{2}=\frac{4}{2} \quad  &\text{ou} \quad  x=6\\[2ex]
x=2 \quad  &\text{ou} \quad  x=6
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{2;6\right\}$

$b)$

$$
\begin{aligned}
(x-1)(6+x)-(x-1)(3x+7)&=0\\[2ex]
(x-1)\bigl[(6+x)-(3x+7)\bigl]&=0\\[2ex]
(x-1)(6+x-3x-7)&=0\\[2ex]
(x-1)(-2x-1)&=0
\end{aligned}
$$

Ce qui équivaut à,

$$
\begin{aligned}
x-1=0 \quad  &\text{ou} \quad  -\!2x-1=0\\[2ex]
x-1+1=0+1 \quad  &\text{ou} \quad  -\!2x-1+1=0+1\\[2ex]
x=1 \quad  &\text{ou} \quad  -\!2x=1\\[2ex]
x=1 \quad  &\text{ou} \quad  \frac{-2x}{-2}=\frac{1}{-2}\\[2ex]
x=1 \quad  &\text{ou} \quad  x=-\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{1;-\frac{1}{2}\right\}$

$c)$

$$
\begin{aligned}
(4x-3)(x-2)-(x-2)^{2}&=0\\[2ex]
(4x-3)(x-2)-(x-2)(x-2)&=0\\[2ex]
(x-2)\bigl[(4x-3)-(x-2)\bigl]&=0\\[2ex]
(x-2)(4x-3-x+2)&=0\\[2ex]
(x-2)(3x-1)&=0
\end{aligned}
$$

Ce qui équivaut à,

$$
\begin{aligned}
x-2=0 \quad  &\text{ou} \quad  3x-1=0\\[2ex]
x-2+2=0+2 \quad  &\text{ou} \quad  3x-1+1=0+1\\[2ex]
x=2 \quad  &\text{ou} \quad  3x=1\\[2ex]
x=2 \quad  &\text{ou} \quad  \frac{3x}{3}=\frac{1}{3}\\[2ex]
x=2 \quad  &\text{ou} \quad  x=\frac{1}{3}
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{2;\frac{1}{3}\right\}$

$d)$

$$
\begin{aligned}
(6x-1)^{2}&=(6x-1)(4x+9)\\[2ex]
(6x-1)^{2}-(6x-1)(4x+9)&=(6x-1)(4x+9)-(6x-1)(4x+9)\\[2ex]
(6x-1)^{2}-(6x-1)(4x+9)&=0\\[2ex]
(6x-1)(6x-1)-(6x-1)(4x+9)&=0\\[2ex]
(6x-1)\bigl[(6x-1)-(4x+9)\bigl]&=0\\[2ex]
(6x-1)(6x-1-4x-9)&=0\\[2ex]
(6x-1)(2x-10)&=0
\end{aligned}
$$

Ce qui équivaut à,

$$
\begin{aligned}
6x-1=0 \quad  &\text{ou} \quad  2x-10=0\\[2ex]
6x-1+1=0+1 \quad  &\text{ou} \quad  2x-10+10=0+10\\[2ex]
6x=1 \quad  &\text{ou} \quad  2x=10\\[2ex]
\frac{6x}{6}=\frac{1}{6} \quad  &\text{ou} \quad  \frac{2x}{2}=\frac{10}{2}\\[2ex]
x=\frac{1}{6} \quad  &\text{ou} \quad  x=5
\end{aligned}
$$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S=\left\{\frac{1}{6};5\right\}$