Puissances | Exercices corrigés | 4e - 3e
Objectif : bien maîtriser les calculs de puissances dès la quatrième et réviser ses bases en troisième et seconde.Exercice 1
Exprimer les nombres suivants sous la forme d’une puissance de 10 : $10^{n}$ avec $n$ entier.
$a) \> 100$
$b) \> 10\,000$
$c) \> 1\,000\,000$
$d) \> 1\,000$
$e) \> 10$
$f) \> 1\,000\,000\,000$
$g) \> 1\,000\,000\,000\,000$
$h) \> 1$
$i) \> 0{,}1$
$j) \> 0{,}01$
$k) \> 0{,}000\,1$
$l) \> 0{,}000\,000\,1$
$m) \> 0{,}001$
$n) \> 0{,}000\,000\,000\,1$
$o) \> 0{,}000\,01$
$p) \> 0{,}000\,001$
Afficher ou masquer la correction
$a)$
$100=10\times10$
$100=10^{2}$
$b)$
$10\,000=10\times10\times10\times10$
$10\,000=10^{4}$
$c)$
$1\,000\,000=10\times10\times10\times10\times10\times10$
$1\,000\,000=10^{6}$
$d)$
$1\,000=10\times10\times10$
$1\,000=10^{3}$
$e)$
$10=10^{1}$
$f)$
$1\,000\,000\,000=10\times10\times10\times10\times10\times10\times10\times10\times10$
$1\,000\,000\,000=10^{9}$
$g)$
$1\,000\,000\,000\,000=10\times10\times10\times10\times10\times10\times10\times10\times10\times10\times10\times10$
$1\,000\,000\,000\,000=10^{12}$
$h)$
$1=10^{0}$
$i)$
$0{,}1=\Large\frac{1}{10}\\[2ex]$
$0{,}1=\Large\frac{1}{10^{1}}\\[2ex]$
$0{,}1=10^{\mathbf{-}1}$
$j)$
$0{,}01=\Large\frac{1}{100}\\[2ex]$
$0{,}01=\Large\frac{1}{10^{2}}\\[2ex]$
$0{,}01=10^{\mathbf{-}2}$
$k)$
$0{,}000\,1=\Large\frac{1}{10\,000}\\[2ex]$
$0{,}000\,1=\Large\frac{1}{10^{4}}\\[2ex]$
$0{,}000\,1=10^{\mathbf{-}4}$
$l)$
$0{,}000\,000\,1=\Large\frac{1}{10\,000\,000}\\[2ex]$
$0{,}000\,000\,1=\Large\frac{1}{10^{7}}\\[2ex]$
$0{,}000\,000\,1=10^{\mathbf{-}7}$
$m)$
$0{,}001=\Large\frac{1}{1000}\\[2ex]$
$0{,}001=\Large\frac{1}{10^{3}}\\[2ex]$
$0{,}001=10^{\mathbf{-}3}$
$n)$
$0{,}000\,000\,000\,1=\Large\frac{1}{10\,000\,000\,000}\\[2ex]$
$0{,}000\,000\,000\,1=\Large\frac{1}{10^{10}}\\[2ex]$
$0{,}000\,000\,000\,1=10^{\mathbf{-}10}$
$o)$
$0{,}000\,01=\Large\frac{1}{100\,000}\\[2ex]$
$0{,}000\,01=\Large\frac{1}{10^{5}}\\[2ex]$
$0{,}000\,01=10^{\mathbf{-}5}$
$p)$
$0{,}000\,001=\Large\frac{1}{1\,000\,000}\\[2ex]$
$0{,}000\,001=\Large\frac{1}{10^{6}}\\[2ex]$
$0{,}000\,001=10^{\mathbf{-}6}$
Exercice 2
Donner l’écriture décimale des nombres suivants :
$a) \> 10^{3}$
$b) \> 10^{6}$
$c) \> 10^{1}$
$d) \> 10^{4}$
$e) \> 10^{0}$
$f) \> 10^{9}$
$g) \> 10^{12}$
$h) \> 10^{2}$
$i) \> 10^{\mathbf{-}1}$
$j) \> 10^{\mathbf{-}4}$
$k) \> 10^{\mathbf{-}9}$
$l) \> 10^{\mathbf{-}6}$
$m) \> 10^{\mathbf{-}12}$
$n) \> 10^{\mathbf{-}5}$
$o) \> 10^{\mathbf{-}7}$
$p) \> 10^{\mathbf{-}24}$
Afficher ou masquer la correction
$a)$
$10^{3}=10\times10\times10$
$10^{3}=1\,000$
$b)$
$10^{6}=10\times10\times10\times10\times10\times10$
$10^{6}=1\,000\,000$
$c)$
$10^{1}=10$
$d)$
$10^{4}=10\times10\times10\times10$
$10^{4}=10\,000$
$e)$
$10^{0}=1$
$f)$
$10^{9}=10\times10\times10\times10\times10\times10\times10\times10\times10$
$10^{9}=1\,000\,000\,000$
$g)$
$10^{12}=10\times10\times10\times10\times10\times10\times10\times10\times10\times10\times10\times10$
$10^{12}=1\,000\,000\,000\,000$
$h)$
$10^{2}=10\times10$
$10^{2}=100$
$i)$
$10^{\mathbf{-}1}=\Large\frac{1}{10^{1}}$
$10^{\mathbf{-}1}=\Large\frac{1}{10}$
$10^{\mathbf{-}1}=0{,}1$
$j)$
$10^{\mathbf{-}4}=\Large\frac{1}{10^{4}}$
$10^{\mathbf{-}4}=\Large\frac{1}{10\,000}$
$10^{\mathbf{-}4}=0{,}000\,1$
$k)$
$10^{\mathbf{-}9}=\Large\frac{1}{10^{9}}$
$10^{\mathbf{-}9}=\Large\frac{1}{1\,000\,000\,000}$
$10^{\mathbf{-}9}=0{,}000\,000\,001$
$l)$
$10^{\mathbf{-}6}=\Large\frac{1}{10^{6}}$
$10^{\mathbf{-}6}=\Large\frac{1}{1\,000\,000}$
$10^{\mathbf{-}6}=0{,}000\,001$
$m)$
$10^{\mathbf{-}12}=\Large\frac{1}{10^{12}}$
$10^{\mathbf{-}12}=\Large\frac{1}{1\,000\,000\,000\,000}$
$10^{\mathbf{-}12}=0{,}000\,000\,000\,001$
$n)$
$10^{\mathbf{-}5}=\Large\frac{1}{10^{5}}$
$10^{\mathbf{-}5}=\Large\frac{1}{100\,000}$
$10^{\mathbf{-}5}=0{,}000\,01$
$o)$
$10^{\mathbf{-}7}=\Large\frac{1}{10^{7}}$
$10^{\mathbf{-}7}=\Large\frac{1}{10\,000\,000}$
$10^{\mathbf{-}7}=0{,}000\,000\,1$
$p)$
$10^{\mathbf{-}24}=\Large\frac{1}{10^{24}}$
$10^{\mathbf{-}24}=\Large\frac{1}{1\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000}$
$10^{\mathbf{-}24}=0{,}000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,001$
Exercice 3
Exprimer les nombres suivants sous la forme d’une puissance de 10 : $10^{n}$ avec $n$ entier.
$a) \> 10^{3}\times10^{5}$
$b) \> 10^{2}\times10^{9}$
$c) \>(10^{4})^{2}$
$d) \> (10^{5})^{5}$
$e) \> \Large\frac{10^{9}}{10^{4}}$
$f) \> \Large\frac{10^{12}}{10^{9}}$
$g) \> \Large\frac{10^{7}}{10^{11}}$
$h) \> \Large\frac{10^{4}}{10^{8}}$
$i) \> 10^{\mathbf{-}4}\times10^{\mathbf{-}3}$
$j) \> 10^{\mathbf{-}1}\times10^{4}$
$k) \>(10^{\mathbf{-}3})^{2}$
$l) \> (10^{\mathbf{-}2})^{\mathbf{-}7}$
$m) \> \Large\frac{10^{\mathbf{-}2}}{10^{\mathbf{-}6}}$
$n) \> \Large\frac{10^{12}}{10^{\mathbf{-}9}}$
$o) \> \Large\frac{10^{\mathbf{-}1}}{10^{\mathbf{-}2}}$
$p) \> \Large\frac{10^{\mathbf{-}14}}{10^{8}}$
Afficher ou masquer la correction
$a)$
$$
\begin{aligned}
10^{3} \times 10^{5} &= 10^{3+5} \\
&= 10^{8}
\end{aligned}
$$
$b)$
$$
\begin{aligned}
10^{2} \times 10^{9} &= 10^{2+9} \\
&= 10^{11}
\end{aligned}
$$
$c)$
$$
\begin{aligned}
(10^{4})^{2} &= 10^{4\times 2} \\
&= 10^{8}
\end{aligned}
$$
$d)$
$$
\begin{aligned}
(10^{5})^{5} &= 10^{5\times 5} \\
&= 10^{25}
\end{aligned}
$$
$e)$
$$
\begin{aligned}
\frac{10^{9}}{10^{4}} &= 10^{9\mathbf{-} 4} \\
&= 10^{5}
\end{aligned}
$$
$f)$
$$
\begin{aligned}
\frac{10^{12}}{10^{9}} &= 10^{12\mathbf{-} 9} \\
&= 10^{3}
\end{aligned}
$$
$g)$
$$
\begin{aligned}
\frac{10^{7}}{10^{11}} &= 10^{7\mathbf{-} 11} \\
&= 10^{\mathbf{-}4}
\end{aligned}
$$
$h)$
$$
\begin{aligned}
\frac{10^{4}}{10^{8}} &= 10^{4\mathbf{-} 8} \\
&= 10^{\mathbf{-}4}
\end{aligned}
$$
$i)$
$$
\begin{aligned}
10^{\mathbf{-}4} \times 10^{\mathbf{-}3} &= 10^{\mathbf{-}4+(\mathbf{-}3)} \\
&= 10^{\mathbf{-}4\mathbf{-}3} \\
&= 10^{\mathbf{-}7}
\end{aligned}
$$
$j)$
$$
\begin{aligned}
10^{\mathbf{-}1} \times 10^{4} &= 10^{\mathbf{-}1+4} \\
&= 10^{3}
\end{aligned}
$$
$k)$
$$
\begin{aligned}
(10^{\mathbf{-}3})^{2} &= 10^{(\mathbf{-}3)\times 2} \\
&= 10^{\mathbf{-}6}
\end{aligned}
$$
$l)$
$$
\begin{aligned}
(10^{\mathbf{-}2})^{\mathbf{-}7} &= 10^{(\mathbf{-}2)\times (\mathbf{-}7)} \\
&= 10^{14}
\end{aligned}
$$
$m)$
$$
\begin{aligned}
\frac{10^{\mathbf{-}2}}{10^{\mathbf{-}6}} &= 10^{\mathbf{-}2\mathbf{-}(\mathbf{-}6)} \\
&= 10^{\mathbf{-}2+6} \\
&= 10^{4}
\end{aligned}
$$
$n)$
$$
\begin{aligned}
\frac{10^{12}}{10^{\mathbf{-}9}} &= 10^{12\mathbf{-}(\mathbf{-}9)} \\
&= 10^{12+9} \\
&= 10^{21}
\end{aligned}
$$
$o)$
$$
\begin{aligned}
\frac{10^{\mathbf{-}1}}{10^{\mathbf{-}2}} &= 10^{\mathbf{-}1\mathbf{-}(\mathbf{-}2)} \\
&= 10^{\mathbf{-}1+2} \\
&= 10^{1}
\end{aligned}
$$
$p)$
$$
\begin{aligned}
\frac{10^{\mathbf{-}14}}{10^{8}} &= 10^{\mathbf{-}14\mathbf{-}8} \\
&= 10^{\mathbf{-}22}
\end{aligned}
$$
Exercice 4
Calculer chacune des expressions suivantes et donner le résultat sous la forme d’un entier ou d’une fraction :
$a) \> (-2)^{3} $
$b) \> (-4)^{2} $
$c) \> -\!4^{2} $
$d) \> -\!2^{3}$
$e) \> (-5)^{4} $
$f) \>(-6)^{3} $
$g) \> (-6)^{2} $
$h) \> -\!8^{2} $
$i) \> (-1)^{84} $
$j) \> -\!1^{84} $
$k) \> (-1)^{3} $
$l) \> (-1)^{4} $
$m) \> 7^{\mathbf{-}2} $
$n) \> (-7)^{\mathbf{-}2} $
$o) \> -\!7^{\mathbf{-}2} $
$p) \> (-3)^{\mathbf{-}4} $
Afficher ou masquer la correction
$a)$
$$
\begin{aligned}
(-2)^{3} &= (-2)\times (-2)\times (-2) \\[1ex]
&= -2\times 2 \times 2 \\[1ex]
&= -8
\end{aligned}
$$
$b)$
$$
\begin{aligned}
(-4)^{2} &= (-4)\times (-4) \\[1ex]
&= 16
\end{aligned}
$$
$c)$
$$
\begin{aligned}
-4^{2} &= -4\times 4 \\[1ex]
&= -16
\end{aligned}
$$
$d)$
$$
\begin{aligned}
-2^{3} &= -2\times 2\times 2 \\[1ex]
&= -8
\end{aligned}
$$
$e)$
$$
\begin{aligned}
(-5)^{4} &= (-5)\times (-5)\times (-5)\times (-5) \\[1ex]
&= 5\times 5\times 5\times 5 \\[1ex]
&= 625
\end{aligned}
$$
$f)$
$$
\begin{aligned}
(-6)^{3} &= (-6)\times (-6)\times (-6) \\[1ex]
&= -6\times 6\times 6 \\[1ex]
&= -216
\end{aligned}
$$
$g)$
$$
\begin{aligned}
(-6)^{2} &= (-6)\times (-6) \\[1ex]
&= 36
\end{aligned}
$$
$h)$
$$
\begin{aligned}
-8^{2} &= -8\times 8 \\[1ex]
&= -64
\end{aligned}
$$
$i)$
$$
\begin{aligned}
(-1)^{84} &= (-1)\times (-1)\times \cdots \times (-1)\\[1ex]
&= 1\times 1\times \cdots \times 1\\[1ex]
&= 1
\end{aligned}
$$
$j)$
$$
\begin{aligned}
-1^{84} &= -1\times 1\times \cdots \times 1\\[1ex]
&= -1
\end{aligned}
$$
$k)$
$$
\begin{aligned}
(-1)^{3} &= (-1)\times (-1)\times (-1)\\[1ex]
&= -1\times 1\times 1 \\[1ex]
&= -1
\end{aligned}
$$
$l)$
$$
\begin{aligned}
(-1)^{4} &= (-1)\times (-1)\times (-1)\times (-1)\\[1ex]
&= 1\times 1\times 1\times 1 \\[1ex]
&= 1
\end{aligned}
$$
$m)$
$$
\begin{aligned}
7^{\mathbf{-}2} &= \frac{1}{7^{2}} \\[2ex]
&= \frac{1}{49}
\end{aligned}
$$
$n)$
$$
\begin{aligned}
(-7)^{\mathbf{-}2} &= \frac{1}{(-7)^{2}} \\[2ex]
&= \frac{1}{(-7)\times (-7)} \\[2ex]
&= \frac{1}{49}
\end{aligned}
$$
$o)$
$$
\begin{aligned}
-7^{\mathbf{-}2} &= -\frac{1}{7^{2}} \\[2ex]
&= -\frac{1}{49}
\end{aligned}
$$
$p)$
$$
\begin{aligned}
(-3)^{\mathbf{-}4} &= \frac{1}{(-3)^{4}} \\[2ex]
&= \frac{1}{(-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)} \\[2ex]
&= \frac{1}{3\times 3\times 3\times 3}\\[2ex]
&= \frac{1}{81}
\end{aligned}
$$
Exercice 5
Exprimer chaque expression sous la forme $a^{n}$ où $a$ et $n$ sont des entiers :
$a) \> 2^{4}\times2^{6}$
$b) \> 7^{3}\times7^{5}$
$c) \>(5^{4})^{3}$
$d) \> (7^{6})^{6}$
$e) \> \Large\frac{3^{5}}{3}$
$f) \> \Large\frac{16^{13}}{16^{7}}$
$g) \> \Large\frac{5^{4}}{5^{9}}$
$h) \> \Large\frac{9^{3}}{9^{6}}$
$i) \> 15^{\mathbf{-}4}\times15^{\mathbf{-}2}$
$j) \> (\mathbf{-}2)^{\mathbf{-}1}\times(\mathbf{-}2)^{8}$
$k) \>((\mathbf{-}7)^{\mathbf{-}5})^{3}$
$l) \> (9^{\mathbf{-}3})^{\mathbf{-}7}$
$m) \> \Large\frac{5^{\mathbf{-}4}}{5^{\mathbf{-}3}}$
$n) \> \Large\frac{(-9)^{15}}{(-9)^{\mathbf{-}7}}$
$o) \> \Large\frac{3^{\mathbf{-}1}}{3}$
$p) \> \Large\frac{(-12)^{\mathbf{-}8}}{(-12)^{\mathbf{-}11}}$
Afficher ou masquer la correction
$a)$
$$
\begin{aligned}
2^{4} \times 2^{6} &= 2^{4+6} \\
&= 2^{10}
\end{aligned}
$$
$b)$
$$
\begin{aligned}
7^{3} \times 7^{5} &= 7^{3+5} \\
&= 7^{8}
\end{aligned}
$$
$c)$
$$
\begin{aligned}
(5^{4})^{3} &= 5^{4\times 3} \\
&= 5^{12}
\end{aligned}
$$
$d)$
$$
\begin{aligned}
(7^{6})^{6} &= 7^{6\times 6} \\
&= 7^{36}
\end{aligned}
$$
$e)$
$$
\begin{aligned}
\frac{3^{5}}{3} &= \frac{3^{5}}{3^{1}} \\
&= 3^{5\mathbf{-} 1} \\
&= 3^{4}
\end{aligned}
$$
$f)$
$$
\begin{aligned}
\frac{16^{13}}{16^{7}} &= 16^{13\mathbf{-} 7} \\
&= 16^{6}
\end{aligned}
$$
$g)$
$$
\begin{aligned}
\frac{5^{4}}{5^{9}} &= 5^{4\mathbf{-} 9} \\
&= 5^{\mathbf{-}5}
\end{aligned}
$$
$h)$
$$
\begin{aligned}
\frac{9^{3}}{9^{6}} &= 9^{3\mathbf{-} 6} \\
&= 9^{\mathbf{-}3}
\end{aligned}
$$
$i)$
$$
\begin{aligned}
15^{\mathbf{-}4} \times 15^{\mathbf{-}2} &= 15^{\mathbf{-}4+(\mathbf{-}2)} \\
&= 15^{\mathbf{-}4\mathbf{-}2} \\
&= 15^{\mathbf{-}6}
\end{aligned}
$$
$j)$
$$
\begin{aligned}
(\mathbf{-}2)^{\mathbf{-}1} \times (\mathbf{-}2)^{8} &= (\mathbf{-}2)^{\mathbf{-}1+8} \\
&= (\mathbf{-}2)^{7}
\end{aligned}
$$
$k)$
$$
\begin{aligned}
((\mathbf{-}7)^{\mathbf{-}5})^{3} &= (\mathbf{-}7)^{(\mathbf{-}5)\times 3} \\
&=(\mathbf{-}7)^{\mathbf{-}15}
\end{aligned}
$$
$l)$
$$
\begin{aligned}
(9^{\mathbf{-}3})^{\mathbf{-}7} &= 9^{(\mathbf{-}3)\times (\mathbf{-}7)}\\
&= 9^{21}
\end{aligned}
$$
$m)$
$$
\begin{aligned}
\frac{5^{\mathbf{-} 4}}{5^{\mathbf{-} 3}} &= 5^{\mathbf{-}4\mathbf{-}(\mathbf{-}3)} \\
&= 5^{\mathbf{-}4+3} \\
&= 5^{\mathbf{-}1}
\end{aligned}
$$
$n)$
$$
\begin{aligned}
\frac{(\mathbf{-}9)^{15}}{(\mathbf{-}9)^{\mathbf{-} 7}} &= (\mathbf{-}9)^{15\mathbf{-}(\mathbf{-}7)} \\
&= (\mathbf{-}9)^{15+7} \\
&= (\mathbf{-}9)^{22} \\
&= 9^{22}
\end{aligned}
$$
$o)$
$$
\begin{aligned}
\frac{3^{\mathbf{-}1}}{3} &= \frac{3^{\mathbf{-}1}}{3^{1}} \\
&= 3^{\mathbf{-}1\mathbf{-}1} \\
&= 3^{\mathbf{-}2}
\end{aligned}
$$
$p)$
$$
\begin{aligned}
\frac{(\mathbf{-}12)^{\mathbf{-}8}}{(\mathbf{-}12)^{\mathbf{-}11}} &= (\mathbf{-}12)^{\mathbf{-}8\mathbf{-}(\mathbf{-}11)} \\
&= (\mathbf{-}12)^{\mathbf{-}8+11} \\
&= (\mathbf{-}12)^{3}
\end{aligned}
$$
Exercice 6
Exprimer les nombres suivants sous la forme d’une puissance de 10 : $10^{n}$ avec $n$ entier.
$a) \> \Large\frac{10^{7}\times10^{\mathbf{-}5}}{10^{\mathbf{-}2}}$
$b) \> \Large\frac{10^{9}\times10^{3}}{10^{10}}$
$c) \> \Large\frac{(10^{5})^{5}}{10^{2}\times10^{7}}$
$d) \> \Large\frac{10^{8}\times10^{5}}{10^{\mathbf{-}2}\times10^{2}}$
$e) \> \Large\frac{10\times(10^{\mathbf{-}2})^{6}\times10^{\mathbf{-}5}\times10^{\mathbf{-}15}}{10^{\mathbf{-}1}\times10^{7}}$
$f) \> \Large\frac{10^{9}\times10^{\mathbf{-}8}\times(10^{\mathbf{-}2})^{3}}{(10^{\mathbf{-}4})^{2}\times10^{10}}$
$g) \> \Large\frac{(10^{6})^{\mathbf{-}5}\times10^{30}\times(10^{\mathbf{-}4})^{\mathbf{-}8}}{10^{12}\times10^{\mathbf{-}11}\times(10^{\mathbf{-}1})^{\mathbf{-}1}}$
$h) \> \Large\frac{(10^{9})^{\mathbf{-}2}\times(10^{\mathbf{-}9})^{2}\times10^{39}}{10^{0}}$
Afficher ou masquer la correction
$a)$
$$
\begin{aligned}
\frac{10^{7}\times 10^{\mathbf{-}5}}{10^{\mathbf{-}2}} &= \frac{10^{7+(\mathbf{-}5)}}{10^{\mathbf{-}2}} \\[2ex]
&= \frac{10^{7\mathbf{-}5}}{10^{\mathbf{-}2}} \\[2ex]
&= \frac{10^{2}}{10^{\mathbf{-}2}} \\[2ex]
&= 10^{2\mathbf{-}(\mathbf{-}2)} \\[2ex]
&= 10^{2+2} \\[2ex]
&= 10^{4}
\end{aligned}
$$
$b)$
$$
\begin{aligned}
\frac{10^{9}\times 10^{3}}{10^{10}} &= \frac{10^{9+3}}{10^{10}} \\[2ex]
&= \frac{10^{12}}{10^{10}} \\[2ex]
&= 10^{12\mathbf{-}10} \\[2ex]
&= 10^{2}
\end{aligned}
$$
$c)$
$$
\begin{aligned}
\frac{(10^{5})^{5}}{10^{2}\times 10^{7}} &= \frac{10^{5\times 5}}{10^{2+7}} \\[2ex]
&= \frac{10^{25}}{10^{9}} \\[2ex]
&= 10^{25\mathbf{-}9} \\[2ex]
&= 10^{16}
\end{aligned}
$$
$d)$
$$
\begin{aligned}
\frac{10^{8}\times 10^{5}}{10^{\mathbf{-}2}\times 10^{2}} &= \frac{10^{8+5}}{10^{\mathbf{-}2+2}} \\[2ex]
&= \frac{10^{13}}{10^{0}} \\[2ex]
&= \frac{10^{13}}{1} \\[2ex]
&= 10^{13}
\end{aligned}
$$
$e)$
$$
\begin{aligned}
\frac{10\times(10^{\mathbf{-}2})^{6}\times10^{\mathbf{-}5}\times10^{\mathbf{-}15}}{10^{\mathbf{-}1}\times10^{7}} &= \frac{10^{1}\times 10^{(\mathbf{-}2)\times 6}\times10^{\mathbf{-}5}\times10^{\mathbf{-}15}}{10^{\mathbf{-}1+7}}\\[2ex]
&= \frac{10^{1}\times 10^{\mathbf{-}12}\times10^{\mathbf{-}5}\times10^{\mathbf{-}15}}{10^{6}}\\[2ex]
&= \frac{10^{1+(\mathbf{-}12)}\times10^{\mathbf{-}5+(\mathbf{-}15)}}{10^{6}}\\[2ex]
&= \frac{10^{1\mathbf{-}12}\times10^{\mathbf{-}5\mathbf{-}15}}{10^{6}}\\[2ex]
&= \frac{10^{\mathbf{-}11}\times10^{\mathbf{-}20}}{10^{6}}\\[2ex]
&= \frac{10^{\mathbf{-}11+(\mathbf{-}20)}}{10^{6}} \\[2ex]
&= \frac{10^{\mathbf{-}11\mathbf{-}20}}{10^{6}} \\[2ex]
&= \frac{10^{\mathbf{-}31}}{10^{6}} \\[2ex]
&= 10^{\mathbf{-}31\mathbf{-}6} \\[2ex]
&= 10^{\mathbf{-}37}
\end{aligned}
$$
$f)$
$$
\begin{aligned}
\frac{10^{9}\times10^{\mathbf{-}8}\times (10^{\mathbf{-}2})^{3}}{(10^{\mathbf{-}4})^{2}\times10^{10}} &= \frac{10^{9+(\mathbf{-}8)}\times 10^{(\mathbf{-}2)\times 3}}{10^{(\mathbf{-}4)\times 2}\times10^{10}}\\[2ex]
&= \frac{10^{9\mathbf{-}8}\times 10^{\mathbf{-}6}}{10^{\mathbf{-}8}\times10^{10}}\\[2ex]
&= \frac{10^{1}\times 10^{\mathbf{-}6}}{10^{\mathbf{-}8+10}}\\[2ex]
&= \frac{10^{1+(\mathbf{-}6)}}{10^{2}}\\[2ex]
&= \frac{10^{1\mathbf{-}6}}{10^{2}}\\[2ex]
&= \frac{10^{\mathbf{-}5}}{10^{2}}\\[2ex]
&= 10^{\mathbf{-}5\mathbf{-}2}\\[2ex]
&= 10^{\mathbf{-}7}
\end{aligned}
$$
$g)$
$$
\begin{aligned}
\frac{(10^{6})^{\mathbf{-}5}\times10^{30}\times(10^{\mathbf{-}4})^{\mathbf{-}8}}{10^{12}\times10^{\mathbf{-}11}\times(10^{\mathbf{-}1})^{\mathbf{-}1}} &= \frac{10^{6\times (\mathbf{-}5)}\times10^{30}\times 10^{(\mathbf{-}4)\times (\mathbf{-}8)}}{10^{12+(\mathbf{-}11)}\times10^{(\mathbf{-}1)\times (\mathbf{-}1)}}\\[2ex]
&= \frac{10^{\mathbf{-}30}\times10^{30}\times 10^{32}}{10^{12\mathbf{-}11}\times10^{1}}\\[2ex]
&= \frac{10^{\mathbf{-}30+30}\times 10^{32}}{10^{1}\times10^{1}}\\[2ex]
&= \frac{10^{0}\times 10^{32}}{10^{1+1}}\\[2ex]
&= \frac{1\times 10^{32}}{10^{2}}\\[2ex]
&= \frac{10^{32}}{10^{2}}\\[2ex]
&= 10^{32\mathbf{-}2}\\[2ex]
&= 10^{30}
\end{aligned}
$$
$h)$
$$
\begin{aligned}
\frac{(10^{9})^{\mathbf{-}2}\times(10^{\mathbf{-}9})^{2}\times10^{39}}{10^{0}} &= \frac{10^{9\times (\mathbf{-}2)}\times 10^{(\mathbf{-}9)\times 2}\times10^{39}}{1} \\[2ex]
&= 10^{\mathbf{-}18}\times 10^{\mathbf{-}18}\times10^{39} \\[2ex]
&= 10^{\mathbf{-}18+(\mathbf{-}18)}\times10^{39} \\[2ex]
&= 10^{\mathbf{-}18\mathbf{-}18}\times10^{39} \\[2ex]
&= 10^{\mathbf{-}36}\times10^{39} \\[2ex]
&= 10^{\mathbf{-}36+39} \\[2ex]
&= 10^{3}
\end{aligned}
$$
Exercice 7
Exprimer chaque expression sous la forme $a^{n}$ où $a$ et $n$ sont des entiers :
$a) \> \Large\frac{5^{3}\times5^{\mathbf{-}7}}{5^{\mathbf{-}2}}$
$b) \> \Large\frac{(\mathbf{-}2)^{12}\times(\mathbf{-}2)^{3}}{(\mathbf{-}2)^{16}}$
$c) \> \Large\frac{((\mathbf{-}3)^{4})^{\mathbf{-}4}}{(\mathbf{-}3)^{5}\times(\mathbf{-}3)^{3}}$
$d) \> \Large\frac{7^{5}\times7^{\mathbf{-}5}}{(-7)^{2}}$
$e) \> \Large\frac{(\mathbf{-}8)^{3}\times8^{4}}{8^{\mathbf{-}2}}$
$f) \> \Large\frac{(\mathbf{-}4)^{2}\times 4^{5}}{4^{7}}$
$g) \> \Large\frac{9^{8}\times (\mathbf{-}9)^{-3}}{ (\mathbf{-}9)^{2}}$
$h) \> \Large\frac{3^{2}\times9^{7}}{3^{4}}$
Afficher ou masquer la correction
$a)$
$$
\begin{aligned}
\frac{5^{3}\times5^{\mathbf{-}7}}{5^{\mathbf{-}2}} &= \frac{5^{3+(\mathbf{-}7)}}{5^{\mathbf{-}2}} \\[2ex]
&= \frac{5^{3\mathbf{-}7}}{5^{\mathbf{-}2}} \\[2ex]
&= \frac{5^{\mathbf{-}4}}{5^{\mathbf{-}2}} \\[2ex]
&= 5^{\mathbf{-}4\mathbf{-}(\mathbf{-}2)} \\[2ex]
&= 5^{\mathbf{-}4+2} \\[2ex]
&= 5^{\mathbf{-}2}
\end{aligned}
$$
$b)$
$$
\begin{aligned}
\frac{(\mathbf{-}2)^{12}\times(\mathbf{-}2)^{3}}{(\mathbf{-}2)^{16}} &= \frac{(\mathbf{-}2)^{12+3}}{(\mathbf{-}2)^{16}} \\[2ex]
&= \frac{(\mathbf{-}2)^{15}}{(\mathbf{-}2)^{16}} \\[2ex]
&= (\mathbf{-}2)^{15\mathbf{-}16} \\[2ex]
&= (\mathbf{-}2)^{\mathbf{-}1} \\[2ex]
\end{aligned}
$$
$c)$
$$
\begin{aligned}
\frac{((\mathbf{-}3)^{4})^{\mathbf{-}4}}{(\mathbf{-}3)^{5}\times(\mathbf{-}3)^{3}} &= \frac{(\mathbf{-}3)^{4\times(\mathbf{-}4)}}{(\mathbf{-}3)^{5+3}} \\[2ex]
&= \frac{(\mathbf{-}3)^{\mathbf{-}16}}{(\mathbf{-}3)^{8}} \\[2ex]
&= (\mathbf{-}3)^{\mathbf{-}16\mathbf{-}8} \\[2ex]
&= (\mathbf{-}3)^{\mathbf{-}24} \\[2ex]
&= \frac{1}{(\mathbf{-}3)^{24}} \\[2ex]
&= \frac{1}{3^{24}} \\[2ex]
&= 3^{\mathbf{-}24}
\end{aligned}
$$
$d)$
$$
\begin{aligned}
\frac{7^{5}\times7^{\mathbf{-}5}}{(\mathbf{-}7)^{2}} &= \frac{7^{5+(\mathbf{-}5)}}{(\mathbf{-}7)^{2}} \\[2ex]
&= \frac{7^{5\mathbf{-}5}}{(\mathbf{-}7)^{2}} \\[2ex]
&= \frac{7^{0}}{(\mathbf{-}7)^{2}} \\[2ex]
&= \frac{1}{(\mathbf{-}7)^{2}} \\[2ex]
&= \frac{1}{7^{2}} \\[2ex]
&= 7^{\mathbf{-}2}
\end{aligned}
$$
$e)$
$$
\begin{aligned}
\frac{(\mathbf{-}8)^{3}\times8^{4}}{8^{\mathbf{-}2}} &= \frac{\mathbf{-}8^{3}\times8^{4}}{8^{\mathbf{-}2}} \\[2ex]
&= \frac{\mathbf{-}8^{3+4}}{8^{\mathbf{-}2}} \\[2ex]
&= \frac{\mathbf{-}8^{7}}{8^{\mathbf{-}2}} \\[2ex]
&= \mathbf{-}\frac{8^{7}}{8^{\mathbf{-}2}} \\[2ex]
&= \mathbf{-}8^{7\mathbf{-}(\mathbf{-}2)} \\[2ex]
&= \mathbf{-}8^{7+2} \\[2ex]
&= \mathbf{-}8^{9} \\[2ex]
&= (\mathbf{-}8)^{9}
\end{aligned}
$$
$f)$
$$
\begin{aligned}
\frac{(\mathbf{-}4)^{2}\times 4^{5}}{4^{7}} &= \frac{4^{2}\times 4^{5}}{4^{7}}\\[2ex]
&= \frac{4^{2+5}}{4^{7}}\\[2ex]
&= \frac{4^{7}}{4^{7}}\\[2ex]
&= 1 \\[2ex]
&= 4^{0}
\end{aligned}
$$
$g)$
$$
\begin{aligned}
\frac{9^{8}\times (\mathbf{-}9)^{\mathbf{-}3}}{(\mathbf{-}9)^{2}} &=\frac{(\mathbf{-}9)^{8}\times (\mathbf{-}9)^{\mathbf{-}3}}{ (\mathbf{-}9)^{2}}\\[2ex]
&= \frac{(\mathbf{-}9)^{8+(\mathbf{-}3)}}{ (\mathbf{-}9)^{2}}\\[2ex]
&= \frac{(\mathbf{-}9)^{8\mathbf{-}3}}{ (\mathbf{-}9)^{2}}\\[2ex]
&= \frac{(\mathbf{-}9)^{5}}{ (\mathbf{-}9)^{2}}\\[2ex]
&= (\mathbf{-}9)^{5\mathbf{-}2}\\[2ex]
&= (\mathbf{-}9)^{3}
\end{aligned}
$$
$h)$
$$
\begin{aligned}
\frac{3^{2}\times9^{7}}{3^{4}} &= \frac{3^{2}\times (3^{2})^{7}}{3^{4}} \\[2ex]
&= \frac{3^{2}\times 3^{2\times 7}}{3^{4}} \\[2ex]
&= \frac{3^{2}\times 3^{14}}{3^{4}} \\[2ex]
&= \frac{3^{2+14}}{3^{4}} \\[2ex]
&= \frac{3^{16}}{3^{4}} \\[2ex]
&= 3^{16\mathbf{-}4} \\[2ex]
&= 3^{12}
\end{aligned}
$$